Hola gente la semana que viene rindo el segundo parcial de AM1 y no puedo entender como calcular areas atraves de las integrales definidas. Osea se que la formula es la integral de la resta de las curvas, la que esta arriba menos la que esta abajo. Pero mi mayor problema es realizar el grafico! No se como determinarlo, qué pasos seguir, cómo hacerlo basicamente.

Les dejo un par de ejemplos para que se guien.

Ej 21. Hallar el area de la region limitada por el eje X y el gráfico de la función

f(x)= $$\frac{-6}{3x-5}+\frac{3}{2}$$ y las rectas x=5 y x=2

Ej 24. Hallar el area de la region comprendida entre las curvas $$y=x ^{3}-5$$ y $$y=-2x^{2}+3x-5$$

Gracias desde ya

Para resolver los ejercicios primero que nada tenes que tener perfectos los gráficos. El segundo es una cuadrática intersectandose con una cubica corrida. Para ganar cancha proba bajar el geogebra e ir dibujando varias funciones, sumale y restale constantes para ver como se corre, eso es fundamental para el gráfico de las funciones. Identifica las raices, la ordenada al origen, todos los puntos de referencia que puedan ayudarte y que salgan rápido.

Con el primero lo mismo, no sale mucho mas de eso. En el libro del ingreso esta explicado como gráficar ese tipo de funciones

Para hacer el grafico exacto tendrias que hacer un estudio de la funcion , como dijo santiaguito en su mensaje .. tambien podes encararlo analiticamente y sin hacer ningun grafico deducis cual es la funcion "techo" y cual al funcion "piso" por ejemplo en el ej 24 , planteo

$$x^3-5<-2x^2+3x-5\quad (*)$$

tengo que ver en que intervalos la cubica es menor que la cuadratica, pasando todo al primer miembro, cambio la desigualdad por igualdad, sacando factor comun x queda

$$x(x^2+2x-3)=0$$

factorizando

$$x(x-1)(x+3)=0$$

en -3, 0 y 1 ambas funciones se cortan , luego es sencillo determinar que para

x<-3 , x>1 no nos interesa porque ambas fuciones se van al infinito y no se cortan mas , entonces en el unico intervalo donde es la cubica es menor que la cuadratica es cuando 0<x<1, basta

tomar un valor arbitrario perteneciente a este intervalo y reemplazar en (*), entonces la "funcion piso" es la cubica y la "funcion techo" la cuadratica

Tambien se puede ver que cuando -3<x<0 esta definida un area donde la "funcion techo" sera la cubica y la "funcion piso" la cuadratica

Entonces el area sera la suma de dos integrales

$$\int_{-3}^{0} x^3-5-(-2x^2+3x-5)dx+\int_{0}^{1}-2x^2+3x-5-(x^3-5)dx=\frac{71}{6}$$

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ej 23 es analogo, planteo que

$$0<-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}\quad (*)$$

cambio la desigualdad por la igualdad y queda

$$0=-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}$$

de donde haciendo las cuentas el punto de corte con el eje x es x=3, queda definidos dos intervalos

$$2<x<3\quad 3<x<5$$

observa que en este intervalo no esta incluido el dominio de la funcion , por lo que no hay ninguna discontinuidad, para saber cual es mayor y menor en esos intervalos , simplemente toma un

valor arbitario y reemplaza en (*) , hecho esto se observa que :

en el primero la "funcion techo" es el eje x , y la "funcion piso" la funcion que te dan

en el segudo la "funcion techo" es la funcion, y la "funcion piso" el eje x

el area sera

$$A=\int_{2}^{3}0-\left(-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}\right)dx+\int_{3}^{5}\left(-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2} \right )-0dxdx=2.44$$

Cita:Pero mi mayor problema es realizar el grafico! No se como determinarlo, qué pasos seguir, cómo hacerlo basicamente.

Primero hallá las intersecciones para ver en que parte están. Ponele que te da entre -5 y 10, tirate una tabla de valores y graficá las funciones lo mejor que puedas y listo.

(18-06-2015 02:25)Saga escribió:  ej 23 es analogo, planteo que

$$0<-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}\quad (*)$$

cambio la desigualdad por la igualdad y queda

$$0=-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}$$

de donde haciendo las cuentas el punto de corte con el eje x es x=3, queda definidos dos intervalos

$$2<x<3\quad 3<x<5$$

observa que en este intervalo no esta incluido el dominio de la funcion , por lo que no hay ninguna discontinuidad, para saber cual es mayor y menor en esos intervalos , simplemente toma un

valor arbitario y reemplaza en (*) , hecho esto se observa que :

en el primero la "funcion techo" es el eje x , y la "funcion piso" la funcion que te dan

en el segudo la "funcion techo" es la funcion, y la "funcion piso" el eje x

el area sera

$$A=\int_{2}^{3}0-\left(-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}\right)dx+\int_{3}^{5}\left(-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2} \right )-0dxdx=2.44$$

Saga muchas gracias por la respuesta, no entiendo porque la desigualdad la haces con 0

$$0<-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}\quad (*)$$

(18-06-2015 16:50)lica2015 escribió:  Saga muchas gracias por la respuesta, no entiendo porque la desigualdad la haces con 0

$$0<-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}\quad (*)$$

porque para este ejercicio en particular tenes las siguientes funciones

$$y=-\frac{6}{3x-5}+\frac{3}{2}$$

y la que define el eje x

$$y=0$$

por eso plantie la desigualdad con el cero