Hola quería saber si me pueden ayudar a sacar las derivadas segundas de las siguientes funciones, el martes rindo y ando medio desesperado!!

1)
\[f (x) = \frac{x}{ln x}\]

f' es \[f'(x) = \frac{lnx-1}{ln^{2}x}\]

2)
\[f(x)= \frac{x}{1+x^{2}}\]

f' es \[f'(x) = \frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}\]

3)
\[f(x) = \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\]

f' es \[f'(x)= \frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}\]

Tengo la resolución de las derivadas segundas en el cuaderno pero la verdad que hay pasos que el profe hizo que no los entiendo, ese es mi problema. Si lo prefieren puedo escanear la hoja y subirlas.

Gracias de antemano!

fijate que si f(x) es

\[f(x)= \frac{h(x)}{g(x)} \]

entonces.

\[f'(x)= \frac{h'(x)*g(x) - h(x)*g'(x)}{g(x)^2} \]
(derivada del primero por el segundo sin derivar, mas el primero sin derivar por la derivada del segundo, sobre el segundo al cuadrado)

para ayudarte un cachito mas.

en tu punto 1)

\[f(x)= \frac{x}{ln(x)} \]

\[h(x)=x\]
\[g(x)=ln(x)\]


de ahi ya deberias poder seguir

Sí, hasta ahí tengo entendido cómo se hace, en el paso siguiente, según el cuaderno, hay cosas que no se de donde salieron. El profe es de saltarse pasos igual, por eso me gustaría ver una completa para decir "Ah! De ahí salió!" jaja porque a pesar de que lo intente hacer por mí mismo no llegué a la misma conclusión. Una cosa, cuando es la derivada del cociente no es un - en vez de un + en el desarrollo?

tenes razon, ahi me equivoque y ya edite.

ahora, si entendes eso, tu pregunta cual es?

Mirá, te dejo los resueltos


Lo que no entiendo es a la hora de simplificar, no entiendo cómo simplifica.

Por ejemplo en el 1 simplifica \[ln x\] con \[ln^{4}x\] y después multiplica en el siguiente paso por 2 cuando supuestamente el \[ln^{4}x\] estaba simplificado con el primer \[ln^{2} \] que aparece.

Después en el punto 2 lo mismo, simplifica el primer \[(1+x^{2})\] con el denominador y también simplifica de la nada el \[2(1+x^{2})\]

En el punto 3 también, algo similar.

No logro entender cómo simplificó el profe

Y mira parece que tengo problemas con la visualizacion de la imagen que esta medio borrosa ... para el primero , vos tenes

\[f(x)=\frac{x}{\ln x}\]

derivando una vez obtenés

\[f'(x)=\frac{\ln x-1}{\ln^2 x}=\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{\ln^2x}=\ln^{-1}x-\ln^{-2}x\]

derivando otra vez

\[f''(x)=-\frac{\ln^{-2}x}{x}+\frac{2\ln^{-3}x}{x}=\frac{2}{x\ln^3x}-\frac{1}{x\ln^2x}\]

sacando mínimo común denominador

\[\frac{2}{x\ln^3x}-\frac{1}{x\ln^2x}=\boxed{\frac{2-\ln x}{x\ln^3x}=f''(x)}\]

yo lo haría así, como te dije, no veo muy bien la imagen que subiste