Estaba haciendo un ejercicio de final, y como no tengo las soluciones quería saber si lo había encaminado bien. Dice:

Dada la transformación lineal T: R2 -> R2 / -1 y 4 son autovalores de T asociados a los autovectores (3,-1) y (2,0) respectivamente, determine justificando, si existe una única transformación lineal que cumpla con los datos indicados.
¿T es diagonalizable? En caso afirmativo halle una matriz A y otra diagonal D, distintas, semejantes entre si y ambas asociadas a T.

Yo lo que hice fue lo siguiente...

\[\begin{pmatrix}a+1 & b \\ c & d+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\]


\[\begin{pmatrix}a-4 & b \\ c & d-4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}\]

De estos dos planteos saco:
\[a = 4, b = 15, c = 0, d = -1\]
Entonces puedo decir que esta es la matriz de mi transformación lineal, y es única.

\[\begin{pmatrix}4 & 15 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]

Ahora a la matriz de la TL le resto la identidad * lamda y hago el determinante igual a 0.
Los autovalores me dan -1 y 4 efectivamente y las multiplicidades geométricas son iguales que las algebraicas, por ende es diagonalizable.
Luego armo P con la matriz de los autovectores y D sería la de los autovalores.

¿Está bien planteado o hay otro camino más fácil?

Gracias

Yo hice las mismas cuentas, solo que en vez de hacer el \[(A-\lambda I ).x =0\] (que es mucho mas facil) hice el \[A.X=\lambda.X\]... es lo mismo en realidad...solo que me manche mas los dedos...
Los demas resultados me dieron igual!

(18-02-2013 02:21)Taylor escribió:  Yo hice las mismas cuentas, solo que en vez de hacer el \[(A-\lambda I ).x =0\] (que es mucho mas facil) hice el \[A.X=\lambda.X\]... es lo mismo en realidad...solo que me manche mas los dedos...
Los demas resultados me dieron igual!

Gracias Taylor por la respuesta!