Buenas gente Utniana. Les quería consultar lo siguiente, tal vez puedan ayudarme:


Tengo un Subespacio de P2--->\[W=(1-X;x-X^2;1+X-2X^2)\]

Y el enunciado me pide: Obtener una base de P2 que INCLUYA a una base de W.

Mi razonamiento fue el siguiente---> \[alpha_1(1-x) + alpha_2(X-X^2)+ alpha_3(1+X-2X^2=(c+bx+aX^2))\]

De lo anterior (reduciendo por filas ) me queda: \[w=((-1,1,0);(-1,0,1))\] ya que tiene dos dimensiones no puede ser base de P2 (ya que la misma tiene dimensión (3))

Para remediar lo anterior le sumo al generador de W un vector más \[(1,1,0)\] el cual (reduciendo nuevamente me dá una base de P2).

Mi pregunta es si el razonamiento anterior es correcto y si el mismo contesta mi pregunta inicial. Cualquier orientación viene bien. Gracias por leer.

Hola

(29-01-2020 17:59)Eärendil escribió:  Para remediar lo anterior le sumo al generador de W un vector más \[(1,1,0)\] el cual (reduciendo nuevamente me dá una base de P2).

Está bien si se entiende que lo que decís cuando hablás de "Le sumo al generador de \(\Bbb{W}\)..." es que precisamente ese generador NO es \(\Bbb{W}\), porque si añadís ese tercer vector lo que generás ya no es \(\Bbb{W}\) sino todo el espacio vectorial.

La respuesta es que una base cumpliendo lo pedido es: \[B=\{(-1,1,0),(-1,0,1),(1,1,0)\}.\] Además ahí tiene que quedar claro que lo que estamos escribiendo en realidad son las coordenadas en la base canónica \(\{1,x,x^2\}\) de los vectores que forman la base buscada. Este matiz se evita si directamente escribimos que la base pedida es: \[B=\{-1+x,-1+x^2,1+x\}.\] Saludos.

(30-01-2020 17:47)manoooooh escribió:  Hola

(29-01-2020 17:59)Eärendil escribió:  Para remediar lo anterior le sumo al generador de W un vector más \[(1,1,0)\] el cual (reduciendo nuevamente me dá una base de P2).

Está bien si se entiende que lo que decís cuando hablás de "Le sumo al generador de \(\Bbb{W}\)..." es que precisamente ese generador NO es \(\Bbb{W}\), porque si añadís ese tercer vector lo que generás ya no es \(\Bbb{W}\) sino todo el espacio vectorial.

La respuesta es que una base cumpliendo lo pedido es: \[B=\{(-1,1,0),(-1,0,1),(1,1,0)\}.\] Además ahí tiene que quedar claro que lo que estamos escribiendo en realidad son las coordenadas en la base canónica \(\{1,x,x^2\}\) de los vectores que forman la base buscada. Este matiz se evita si directamente escribimos que la base pedida es: \[B=\{-1+x,-1+x^2,1+x\}.\] Saludos.

Exactamente, eso quise decir al hacer referencia con el vector "añadido" a W.

Te agradezco tu respuesta, muy completa.