Buenas!
Los molesto con una duda que tengo de un ejercicio que no puedo resolver. En la cursada vi este tema muy por arriba, una sola vez, y con ejercicios medio fáciles comparados con este. Estuve mirando un poco en el foro pero lo que encontré no me ayudó mucho para entender.
Les dejo el enunciado.

   

Gracias y saludos!

Tenes que derivar , en el primer y segundo miembro utilizando el Teorema fundamental del calculo integral, como te piden que utilices un polinomio de segundo grado deriva dos veces , un valor cercano al que te dan es el cero , entonces solo hay que hacer

$$h\approx P_{2,h,0}$$

o sea aproximar h por un mac lourin de segundo grado, se entiende ??

Si, se entiende.
Lo terminé haciendo así
Derivando ambos miembros, para conseguir h(x), queda

$$h(x) = 2x + sen(2x) +2xcos(2x) - sen(2x)$$
Resto los senos. Como 0 se aproxima a 0.023
$$h(0) = 0$$

Saco h'(x)
$$h'(x) = 2 + 2cos(2x) - 4xsen(2x)$$
$$h'(0) = 4$$

Ahora h''(x)
$$h''(x) = -4sen(2x) -4sen(2x) - 8xcos(2x)$$
$$h''(0) = 0$$

Por lo que el polinomio de McLaurin sería
$$P(x) \simeq 0 + 4x + 0/2 = 4x$$

No se si es correcto.

esta perfecto , por lo menos el procedimiento , si derivaste bien por la regla de la cadena y no te olvidaste nada (no revise las cuentas).... esta ok

Yo llegué al mismo resultado asi que creería poco probable que ambos nos equivoquemos xD

Una forma de verificar es la siguiente, dijimos que

$$h(x)\approx P_{2,h(x),0}=4x$$

si reemplazamos el punto en la funcion h(x) hallada inicialmente

$$h(0,023)=0,09199998517$$

evaluado en el polinomio asociado

$$P(0,023)=0,092$$

entonces se cumple

$$h(x)\approx P_{2,h(x),0}$$