1) Indique si cada una de las afirmaciones siguientes es verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.

a) Si f y g son contínuas en [a;b] y \[\forall x\in(a;b)\] f'(x)=g'(x), entonces f(x) y g(x) difieren en una constante.

VERDADERO

\[f'(x)=g'(x)\], agrego diferenciales e integrando a ambos lados: \[\int f'(x)dx=\int g'(x)dx\]

\[f(x)+c_1=g(x)+c_2\Rightarrow f(x)-g(x)=c_2-c_1=k\]

\[\therefore f(x)\] y \[g(x)\] difieren en una constante.

Nota: Esta es la forma en que se prueba, pero el enunciado no nos asegura que f'(x) sea integrable... a alguien se le ocurre cómo salir de esto?

b) La sucesión \[\left \{ 2;\frac{4}{3}; \frac{6}{5} ;... \right \} \] es convergente.

VERDADERO

\[\left \{ 2;\frac{4}{3}; \frac{6}{5} ;... \right \} \] se puede escribir como \[a_n=\frac{2n}{2n-1}\] con \[n\in \mathbb{N}\]

Entonces: \[\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n}{2n-1}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n}\frac{2}{2-\frac{1}{n}}=1\]

Pruebe que si \[\forall x \in \mathbb{R}: xsen(\pi x)= \int_0^{x^2}f(t)dt\] con f continua en todo \[\mathbb{R}\], la función f se anula en el intervalo (1;4).

Este enunciado es poco claro... no se entiende si quiere que demuestres que en TODO el intervalo f=0 o que en algún punto del intervalo vale 0. Igual vamos a ver que lo primero es absurdo.

Empezamos evaluando en x=2:

\[xsen(\pi x)\mid_{x=2}=2sen(2\pi)=0=\int_0^4f(t)dt\]

También vemos que en x=1:

\[xsen(\pi x)\mid_{x=1}=sen(\pi)=0=\int_0^1f(t)dt\]

\[\Rightarrow 0=\int_0^4f(t)dt = \underset{0}{\underbrace{\int_0^1f(t)dt}}+\int_1^4f(t)dt=0\Rightarrow \int_1^4f(t)dt=0\]

Veamos que \[f(t)=0 \forall t\in (1;4)\] es absurdo:

En x=3/2:

\[xsen(x\pi)\mid_{x=\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}=\int_0^\frac{9}{4}f(t)dt=\int_0^1f(t)dt+\int_1^\frac{9}{4}f(t)dt\]

\[\Rightarrow \int_1^\frac{9}{4}f(t)dt=-\frac{3}{2}\]

Si la función es nula en ese intervalo la integral tendría que ser cero en ese intervalo, por lo tanto es un absurdo que sea idénticamente cero en todo el intervalo.

Recapitulando, habíamos quedado en que \[\int_1^4f(t)dt=0\]. La única chance es que que el área de f(t) entre (1;4) tenga parte positiva y parte negativa de igual magnitud, entonces en cierta parte del intervalo la función es positiva y en otra es negativa y por Bolzano (o uno de esos), si f es contínua en [a,b], en cierta región del intervalo f(t)<0 y en otra región f(t)>0, entonces

\[\exists t_0 \in [a;b]/ f(t_0)=0\].

Determine los intervalos de crecimiento y si existen halle y clasifique los extremos relativos de \[h(x)=|x|e^{-\frac{x^2}{2}}\]

Partimos la función:

\[h(x)=\left\{\begin{matrix}-xe^{-\frac{x^2}{2}} & si&x<0\\ xe^{-\frac{x^2}{2}} &si &x\geqslant 0\end{matrix}\right.\]

Puntos críticos para x<0:

\[h'(x)=0=-\left [ e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2e^{-\frac{x^2}{2}} \right ]\Rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-1)=0 \Rightarrow x=\pm 1\]

Como estamos en la región x<0, hay un punto crítico en x=-1.

Hallamos la derivada segunda y la evaluamos en -1 para ver si es un máx, mín o punto de inflexión.

\[h''(-1)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-1)+2xe^{-\frac{x^2}{2}}\mid_{x=-1}=-2e^{-\frac{1}{2}}<0 \Rightarrow Maximo\]

Análogamente para \[x\geqslant 0\]:

\[h'(x)=0=e^{-\frac{x^2}{2}}-x^2e^{-\frac{x^2}{2}}\Rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2)=0 \Rightarrow x=\pm 1\]

Como estamos en x>0, x=1.

Vemos si es máx/min:

\[h''(1)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2)-2xe^{-\frac{x^2}{2}}\mid_{x=1}=-2e^{-\frac{1}{2}}<0 \Rightarrow Maximo\]

Nos queda por ver un punto crítico, que es donde h(x) no es diferenciable. La parte exponencial no tiene problema, pero sabemos que el módulo de x no es diferenciable en x=0. Eso lo podemos ver haciendo el límite por izquierda y derecha tendiendo a cero de la primer derivada usando las ramas correspondientes:

\[\lim_{x\rightarrow0^-}h'(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}e^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-1)=-1\]

\[\lim_{x\rightarrow0^+}h'(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2)=1\]

Cuando x=0, h(0)=0, y como la función es positiva \[\forall x \neq 0 \] (\[|x|>0 \forall x \neq 0\] y \[e^\alpha >0 \forall x\in \mathbb{R}\]), entonces x=0 es un mínimo.

Entonces: h(x) crece hasta x=-1 (máximo), decrece hasta x=0 (mínimo) y vuelve a crecer hasta x=1 (máximo). Quedaría ver que pasa antes del 1 y dsp del -1... pero como tienen máximos podemos deducir lo que pasará. De última toman límite y listo, da cero a ambos infinitos.

Redondeando:

Intervalo de crecimiento: \[C\uparrow: \right.(-\infty;-1)\cup (0;1)}\]

Intervalo de decrecimiento: \[C\downarrow : (-1;0)\cup (1;+\infty)\]

Encontrar el área entre la gráfica de \[f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}\], las rectas x=1, x=2 y su asíntota lineal en el semiplano derecho.

Buscamos la asíntota lineal en el semiplano derecho:

\[\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{e^x+1}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{e^x}\frac{1}{1+e^{-x}}=1\]

Entonces la asíntota lineal es y=1.

Entre 1 y 2, f(x) está por debajo de y=1; se puede argumentar evaluando en ambos valores y como es monótonamente creciente, no va a pasar y=1 (su asíntota). Entonces, el "techo" del área sería la función g(x) = y = 1, y el piso, f(x).

Calculamos el área:

\[A= \int_1^2[g(x)-f(x) ]dx=\int_1^2\left ( 1-\frac{e^x}{e^x+1}\right )dx=\int_1^2dx- \int_1^2\frac{e^x}{e^x+1}dx\]

Cambio de variables:

\[\begin{matrix}u=e^x+1; &x=1\rightarrow u=e+1 \\ du=e^xdx; &x=2\rightarrow u=e^2+1 \end{matrix}\]

\[A=x\mid_1^2-\int_{e+1}^{e^2+1}\frac{du}{u}=\]

\[ 2-1 - ln(u)\mid_{e+1}^{e^2+1}= 1-\underset{\approx 0.814}{\underbrace{ln(e^2+1)+ln(e+1)}}\approx 0.186\]

b) Estudie la convervencia de \[\int_{-\infty}^\infty\frac{e^x}{e^x+1}dx\]

Buen... esta integral claramente diverge... se está integrando una función positiva y monótonamente creciente. En el

\[\lim_{x\rightarrow+\infty} \int_{a}^\infty\frac{e^x}{e^x+1}dx=\int_{a}^\infty\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{e^x+1}dx=\]

\[\int_{a}^\infty\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{1+e^{-x}}dx=\int_a^\infty1dx\rightarrow\infty\]

Encuentre el intervalo de convergencia de la serie \[S_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n2^n}\].

Vamos a usar el criterio de Cauchy: Sea la serie de la forma \[\sum_{n=1}^\infty a_n\] si \[\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}<1\], la serie converge.


En nuestro caso:

\[\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left | \frac{x^{n+1}}{n2^n} \right |}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left | \frac{x^nx}{n2^n} \right |}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|x\overset{1}{\overbrace{\sqrt[n]{x}|}}}{|2\underset{1}{\underbrace{{\sqrt[n]{n}}}}|}=\frac{|x|}{2}<1\]

Entonces: \[x<2 \wedge x>-2\]

Vemos los bordes:

Para x=-2

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^{n+1}}{n2^n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-2)(-2)^n}{n2^n}=-2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n2^n}{n2^n}=-2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\]

Por el criterio de Leibniz, que nos dice que si tenemos una serie de la forma \[\sum_{n=1}^\infty(-1)^n a_n\], si \[a_n>0\] y \[a_n>a_{n+1} \forall n\in \mathbb{N} \] (monótonamente decreciente), entonces la serie converge.

Nuestro \[a_n\] sería \[\frac{1}{n}\] que es mayor que cero y monótonamente decreciente para todo n>0. Entonces converge para x=-2.

Para x=2:

\[\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+1}}{n2^n}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n2^n}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\].

Sabemos que las sumatorias de la forma \[\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \] converge si p>1. En este caso p=1, entonces la serie diverge.

\[\therefore S_n\] cv \[\forall x\in[-2;2)\]

b) Calcule el error al emplear \[S_6\] como aproximación a la suma de la serie \[\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n2^n}\]

Esta serie dijimos que convergía (era el caso en x=-2). Un corolario del teorema de Leibniz dice que si \[\sum_{n=1}^\infty(-1)^na_n=L\] (converge) y llamamos \[S_k=\sum_{n=1}^k(-1)^na_n\], entonces:

\[|L-S_k|<|S_k-S_{k-1}|=a_k\].

En nuestro caso: \[a_n=\frac{1}{n2^n}\], entonces:

\[|L-S_6|<|S_6-S_5|=a_6=\frac{1}{6\cdot 2^6}=\frac{1}{384}\]