Buenas, dejo adjunto el final de ayer, a mi particularmente me pareció que se fueron un poco a la bosta... No sé que opinará el resto...
Algún alma caritativa que nos ilumine con la resolución por favor?

   

No esta tan dificil

1) la definicion nos dice que si una funcion es diferenciable la derivada direccional se puede escribir como $$f'(A,r)=\nabla f (A) r$$ reescribiendo la funcion que tenes ahi tenes

$$f'((x,y),r)=(2x,8y)(u,v)\quad \forall u,v \in R$$

ya tenes el gradiente d f

$$\nabla f=(2x,8y)$$

el hessiano sera

$$H(x,y)=\begin{pmatrix}2 & 0\\0 &8 \end{pmatrix}$$

$$f''_{xx}>0 \wedge det(H)>0\to (0,0)\quad \mbox{minimo local }$$

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2) si rescribis la integral que tenes como

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\cos\theta}r^2 rdrd\theta$$

por definicion

$$\\r^2=x^2+y^2\\x=r\cos \theta\\ y=r\sin\theta$$

ademas no interesa cuando

$$r<2\cos\theta$$

haciendo los reemplazos necesarios, despejando r tenes

$$\sqrt{x^2+y^2}<2\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

de donde la curva en cartesianas es $$x^2+y^2=2x$$ o equivalentemente $$(x-1)^2+y^2=1$$ con un dibujito sencillo sobre el plano xy deducis que la integral en cartesianas es

$$\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{1-(x-1)^2}}x^2+y^2dydx=\frac{3}{4}\pi$$

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E1) la recta tangente esta dada por la interseccion de esas dos superficies , si expreso cada una como una funcion F y G, entonces el director de la recta esta definido como

$$d=\nabla F(1,2,2)\times \nabla G(1,2,2)=(1,6,-2)$$

la recta de forma vectorial es

$$r(\alpha)=(1+\alpha,2+6\alpha,2-2\alpha)$$

para saber de donde a donde va el parametro solo hay que hacer $$r(\alpha)=(1,2,2)\quad r(\alpha)=(2,y_0,z_0)\to \alpha\in [0,1]$$

luego la circulacion esta dada por

$$\omega=\int fds=\int_{0}^{1}f(r(\alpha))\cdot r'(\alpha)d\alpha$$

luego de hacer el producto escalar

$$\omega=\int_{0}^{1}118\alpha+30d\alpha=89$$

Podemos verificar el resultado hallando la funcion potencial a f los puntos son A=(1,2,2) B=(2,8,0) entonces por las condiciones de existencia para una funcion potencial

1) el dominio es simplemente conexo

2) la matriz jacobiada es simetrica

se cumple 1) veamos con 2)

$$Df=\begin{pmatrix}2 &0 &0 \\ 0 &3 &0 \\ 0& 0 &2 \end{pmatrix}$$

entonces existe funcion potencial , luego por definicion $$\nabla U=f$$ entonces

$$\frac{dU}{dx}=2x\quad \frac{dU}{dy}=3y\quad \frac{dU}{dz}=2z$$

integrando se obtiene que

$$U(x,y,z)=x^2+\frac{3}{2}y^2+z^2+K$$

entonces

$$\omega=U(B)-U(A)=97-8=89$$

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E2) por definicion de area $$A=\iint_R ||g'_u\times g'_v||dudv$$ una parametrizacion de forma vectorial adecuada para la esfera es

$$g:R^2\to R^3/g(w,t)=(\sqrt 2\cos w\cos t,\sqrt 2 \cos w\sin t,\sqrt 2\sin w)$$

la norma del producto vectorial de los elementales es (tomalo como acto de fe ) es $$||g'_w\times g'_t||=2\cos w$$

con un dibujito de la situacion sacas los limites de integracion

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos w dwdt=(4-2\sqrt 2)\pi$$

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E3) como la recta normal pasa por el punto la recta tangente tambien lo hara entonces con la normal sacas el valor de y0 y definis las condiciones iniciales (y' es la pendiente de mi recta tangente)

$$y(0)=1\quad y'(0)=-2$$

sabes que la solucion general de esa ecuacion diferencial es

$$y=y_h+y_p$$

para el yh planteo el polinomio caracteristico $$r^2-r=0\to r_1=0\quad r_2=1$$ dos raices distintas entonces

$$y_h=Ae^{-r_1x}+Be^{-r_2x}$$

reemplazando obtenes $$y_h=A+Be^{-x}$$ para la yp propongo $$y_p=mx^2+bx$$ derivandola dos veces y reemplazando en la ED dada $$2m-2mx-b=2x$$ igualando

terminos semejantes

$$-2m=2\quad 2m-b=0\to m=-1\quad b=-2$$ reemplazando finalmente tenes que la solucion general de la ED es $$y=A+Be^{-x}-x^2-2x$$ utilizando las condiciones iniciales la curva

pedida es $$y=-x^2-2x+1$$

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E4) por definicion

$$\varphi =\iint_R fn dS$$

la normal sera el producto vectorial de los elementales de la funcion g que la defino como $$g(x,y)=(x,y,4-x^2)$$ entonces $$n=g'x\times g'_y=(2x,0,1)$$ componiendo f con g

y haciendo el respectivo producto escalar se obtiene

$$\varphi=\iint 4x^2y+16y-4x^2y dydx$$

los limites van en funcion de g entonces $$0<y<x\quad 4-x^2>0\to 0<x<2$$ luego

$$\varphi=\int_{0}^{2}\int_{0}^{x} 16y dydx=\frac{64}{3}$$

Saga, te hago una consulta al ejercicio E2.

Vos elegis como parametrizacion de la esfera $$g:R^2\to R^3/g(w,t)=(\sqrt 2\cos w\cos t,\sqrt 2 \cos w\sin t,\sqrt 2\sin w)$$ cuando para realizar coordinadas esfericas utilizamos: $$g:R^2\to R^3/g(w,t)=(\sqrt 2\sin w\cos t,\sqrt 2 \sin w\sin t,\sqrt 2\cos w)$$ y la norma del producto vectorial es: $$||g'_w\times g'_t||=2\sin w$$ .

Quisiera saber a que se debe este cambio, ya que realizandolo de la forma en que parametrice yo (y como lo encontre en varios apuntes) me da otro resultado.

Muchas gracias, Eric!

Para empezar yo no hable de coordenadas esfericas , simplemente hable de una parametrizacion de la esfera, como sabes hay infinitas , la que yo habitualmente uso es la que detalle en mi respuesta,

¿porque lo hago? simplemente porque es mas facil (para mi) despues ver los limites de integracion haciendo simplemente el perfil de la superficie en cuestion , ademas que la parametrizacion que elegi

w recorre la esfera de "de polo a polo" (entiendase sur a norte), la que vos sugeris tambien es correcta ,w "camina" pero al reves con la restriccion de 0 a pi, ademas en el ejercicio vos tenes la otra restriccion , el

cono, entonces unificando ambas encontras el limite para w

Lo que seguro estas fallando son los limites de integracion , con esa parametrizacion que elegis vos entonces

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\sin w dwdt=(4-2\sqrt 2)\pi$$

si no fallaste en los limites de integracion entonces por ahi al integrar tenes algun error , con una u otra el resultado siempre debe ser el mismo , sea cual fuese la parametrizacion

que uno elija

Ahi me dio bien.

Muchisimas gracias Saga!

no cazo una con ecuaciones diferenciales, consulta, hay algun apunte copado donde me explique bien el tema?

muchas gracias!

creo que en los flax esta bien explicado ... estan subidos al foro , usa el buscador y los encontras ... yo lo que se de eso lo se de la cursada nada mas jeje

Saga, el E2 no hay forma de resolverlo con cilíndricas? o se complica demasiado? Porque no llego a entender como llegas a esa parametrizacion propuesta.

El E2 lo podes hacer así:

Resolución

Te piden calcular el área dada por:

$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$$
con $$z\geqslant \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

Gráficamente tenes una esfera de radio $$\sqrt{2}$$ cortada por el semicono superior de la ecuacion:

$$z^{2}= {x^{2} + y^{2}}$$

Tomamos la parte superior de esa ecuación ya que te dicen que:

$$z\geqslant \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

Ahora el área de la sección de esfera que te piden está dada por:

$$A = \iint_{S} dS$$

Donde el diferencial de superficie será:

$$dS = \frac{||\bigtriangledown F||}{|F`z|} dx dy$$

Ya que nosotros vamos a proyectar sobre el plano XY a la curva C que estará dada por la intersección de la esfera con el semicono.

Primero hallamos a C

$$C = S1\cap S2$$

Donde

$$S1: x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$$
$$S2: z^{2}= {x^{2} + y^{2}}$$

Reemplazando la ecuación de S2 en S1 y haciendo un par de despejes, llegamos a que el cilindro proyectante, es decir, el sistema equivalente de la curva C es:

$${x^{2} + y^{2}} = 1$$
$$z = 1$$

Ahora ya tenemos un sistema cómodo para trabajar con C.

Construimos el diferencial de superfice

Para esto definimos una función F, que tendrá como superficie de nivel cero a la ecuación de nuestra esfera.

$$F: \mathbb{R}{3}\rightarrow \mathbb{R} / F(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2$$

Ahora podemos obtener el gradiente para el diferencial de superfice.

$$\bigtriangledown F (x,y,z) = (2x, 2y, 2z)$$

Ahora, como la bajada del recinto la estamos haciendo sobre el plano XY, debemos despejar Z en función de X y de Y, a partir de la ecuación de nuestra esfera.

$$z = \sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}$$

Notar que estamos usando la semiesfera superior, la intersección entre el semicono y la esfera se da en los Z positivos.

Volviendo a nuestra integral de superficie:

$$A = \iint_{S} \frac{||\bigtriangledown F||}{|F`z|} dxdy$$

Haciendo la bajada al recinto:

$$A = \iint_{R} \frac{||(2x, 2y, 2z||)}{|2z|} dxdy$$

Y dejando a Z en funcion de X e Y:

$$A = \iint_{R} \frac{||(2x, 2y, 2\sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}||)}{|2\sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}|} dxdy$$

Despejando el modulo del gradiente queda que:

$$A = \iint_{R} \frac{\sqrt{8}}{2\sqrt{2 - x^{2} - y^{2}}} dxdy$$

Y en polares nos quedará:

$$A = \frac{\sqrt{8}}{2} \int_{0}^{2\pi }d\lambda \int_{0}^{1}\rho (\frac{1}{\sqrt{2 -\rho ^{2}}})d\rho$$

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Por las dudas revisalo ya que lo hice un poco apurado.

que quilombo, me quedo parametrizando la esferita

.... huele a amed ahi jjejejej

jajajaja muy obvio no???

jajajaj igualmente cuando haces "la bajada" que vos decis no son cilindricas, son polares Santi Aguito jejeje,

Gracias Santi Aguito! Lo revisé y está todo perfecto. Termina dando lo mismo que le dio a Saga.

Mil gracias!

(21-07-2014 21:32)Saga escribió:  jajajaj igualmente cuando haces "la bajada" que vos decis no son cilindricas, son polares Santi Aguito jejeje,

Off-topic:

Uff error catastrófico. Ahí lo corregí

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(21-07-2014 21:35)Elsatrapal escribió:  Gracias Santi Aguito! Lo revisé y está todo perfecto. Termina dando lo mismo que le dio a Saga.

Mil gracias!

No es nada un saludo y suerte!

ya que estamos........... asi queda de las tres maneras este ejercicio, la facil la recontrarebuscada y la rebuscada

tomo la parametrizacion de forma vectorial

$$g:R^2\to R^3/g(r,t)=(r\cos t,r\sin t,\sqrt{2-r^2})$$

de donde hallando los vectores elementales

$$\\g'_r=\left(\cos t,\sin t,\frac{-r}{\sqrt{2-r^2}}\right)\\\\ g'_t=(-r\sin t,r\cos t,0)$$

haciendo el producto vectorial

$$g'_r\times g'_t=\left (\frac{r^2\cos t}{\sqrt{2-r^2}},\frac{r^2\sin t}{\sqrt{2-r^2}},r \right )$$

la norma es

$$||g'_r\times g'_t||=\frac{\sqrt{2}r}{\sqrt{2-r^2}}$$

los limites van en funcion de g entonces

$$A=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{2}r}{\sqrt{2-r^2}} drdt=(4-2\sqrt 2)\pi$$

verifiquenlo con wolfram