Les paso el final tomado la ultima fecha resuetlo... se aceptan criticas

   

1) a)

puedo puedo dividir la integral en dos partes y expresarla como

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\]

hago un cambio de variable en la primera integral

\[x=-t\to dx=-dt\quad x\to -a\quad t\to a\]

entonces

\[\\-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}-f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)=\\\\\\=\int_{0}^{a}f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx\quad *\]

como f es impar se cumple que

\[-f(t)=f(-t)\]

reemplazando en *

\[\int_{0}^{a}f(-t)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=0\]

que es lo que se queria probar

como adicional (no lo pide el ejercicio) si f es par se cumple que

\[f(-t)=f(t)\]

reemplazando en *

\[\int_{0}^{a}f(-t)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a} f(x)dx\]

---

b) puedo usar las propiedades de infinitesimos y principalmente la que dice que

\[\lim_{x\to a} f(x)=L\leftrightarrow f(x)=L+\phi(x)/\lim_{x\to 0} \phi (x)=0\]

hay que probar que

\[\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}f(x)g(x)=L_1L_2=L\]

usando la propiedad que mencione antes , nuestras hipotesis son

\[\lim_{x\to a} f(x)=L_1\leftrightarrow f(x)=L_1+\phi(x)_1/\lim_{x\to a} \phi (x)_1=0\]

\[\lim_{x\to a} g(x)=L_2\leftrightarrow f(x)=L_2+\phi(x)_2/\lim_{x\to a} \phi (x)_2=0\]

nuestra tesis

\[\lim_{x\to a} f(x)g(x)=L_1L_2\leftrightarrow f(x)g(x)=L_1L_2+\phi(x)/\lim_{x\to a} \phi (x)=0\]

si multiplico f por g entonces

\[\\f(x)g(x)=(L_1+\phi(x)_1)(L_2+\phi(x)_2)=L_1L_2+L_1\phi(x)_1+L_2\phi(x)_2+\phi(x)_1\phi(x)_2\]

por propiedades

infinitesimo por constante da otro infinitesimo en a

infinitesimo por infinitesimo da otro infinitesimo en a

entonces se cumple que

\[\lim_{x\to a}\phi(x)=0\]

por lo tanto

\[\lim_{x\to a} f(x)=L_1\]

\[\lim_{x\to a} g(x)=L_2\]

f y g son continuas en a

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3) nos piden hallar la funcion f , entonces hay que integrar la derivada segunda dos veces , las condiciones iniciales son (por observacion de la recta tangente , que no es otra cosa que un polinomio

de taylor de grado 1 centrado en 0 asociado a f, se obtiene

\[f'(0)=4\quad f(0)=2\]

luego integrando una vez

\[f'(x)=\int \frac{x}{x^2+1}dx\]

si uso sustitucion

\[u=x^2+1\quad du=2xdx\]

la integral se transforma

\[f'(x)=\int \frac{x}{x^2+1}dx=\int \frac{du}{2u}=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+C\]

evaluando la derivada en la condicion inicial se obtiente que C=4 entonces

\[f'(x)=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+4\]

integrando una vez mas para hallar f , si la hacen a pulmon primero, separarla por linealidad de la integral en dos integrales, luego a la primera hay que aplicar partes, despues una division de polinomios y con eso sale ,

la segunda es facil

\[f(x)=\int\frac{1}{2}\ln(x^2+1)+4dx=\frac{1}{2}x(\ln(x^2+1)+6)-\tan^{-1} (x)+K\]

evualada en la condicion inicial K=2

finalmente

\[f(x)=\frac{1}{2}x(\ln(x^2+1)+6)-\tan^{-1} (x)+2\]

---

3) por el teorema fundamental derivo la funcion g

\[g'(x)=f(\sqrt{x^2})2x=2f(x)x\]

el enunciado me asegura que g tiene un minimo relativo entonces se cumple que

\[g'(1)=f(1)=0\]

sabemos que si una funcion presenta un minimo entonces su derivada segunda evaluada en el punto es mayor o igual a 0 , entonces derivo otra vez g por regla del producto

\[g''(x)=2f'(x)x+2f(x)\]

luego

\[g''(1)=2f'(1)+2f(1)\geq 0\]

pero

\[f(1)=0\]

finalmente

\[f'(1)\geq 0\]

que es lo que se queria probar

---

4) observar que no nos piden el valor de la integral , solo nos piden si CV o DV entonces la reescribo como

\[\int_{-3}^{+\infty} f(x)dx=\int_{-3}^{0} -f(x)dx+\int_{0}^{1} f(x)dx+\int_{1}^{+\infty} f(x)dx\]

si al menos una diverge , entonces la suma diverge , analizo la tercera que es de terminos positivos , considero

\[\int_{1}^{+\infty} g(x)dx =\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}dx\]

con k=1 DV , si el limite entre el cociente de f y g es distinto de 0 o de infinito , significa que ambas tienen el mismo caracter entonces

\[\lim_{x\to \infty}\frac{\dfrac{x}{x^2+9x+20}}{\dfrac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2+9x+20}=1\]

por lo tanto

\[\int_{-3}^{+\infty}\frac{|x|}{x^2+9x+20}dx\quad DV\]

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5) aplicando el criterio de la raiz de cauchy entonces

\[\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=|x-1|<1\to-1<x-1<1\to 0<x<2\]

gracias saga!!! con este parcial me lleve un hermoso 2 asi que me viene bien para practicar para fin de año

no es nada pikachui, voy a empezar a subir finales resueltos de am1 asi les queda para practicar, siempre revisen las cuentas o si me mande algun moco avisen

Saga, permitimeló agregarlo al recopilatorio de finales de AM1.

Se agradece.

si dale sin drama pablit

Saga, en el 1)a) fijate que se puede pensar en una función por partes definida en el intervalo [-a;a] tal que esa integral valga cero.
Fijate que pasa con una función que valga 1/2 en [0;a] y que valga -x/a en [-a;0), en este caso la integral vale cero pero la función no es impar.

(12-10-2014 11:23)ivaaan escribió:  Saga, en el 1)a) fijate que se puede pensar en una función por partes definida en el intervalo [-a;a] tal que esa integral valga cero.
Fijate que pasa con una función que valga 1/2 en [0;a] y que valga -x/a en [-a;0), en este caso la integral vale cero pero la función no es impar.

pero esa funcion que propones es discontinua en 0 basta analizar los limite cuando x se acerca al origen por izquiera y derecha , no cumple la condicion suficiente de integrabilidad para una funcion por tramos , de hecho

en el enunciado te dicen, f es continua en [-a,a] ivaaan

Em, no en el enunciado no dice que f es continua en su dominio. Y por eso podes armar una funcion continua a tramos (que sigue siendo integrable por riemann) que haga que esa integral de cero sin ser impar...

(20-10-2014 23:14)ivaaan escribió:  Em, no en el enunciado no dice que f es continua en su dominio.

estem... si te fijas bien lo dice (curso basico , introductorio modulo B), ademas que la funcion que propusiste antes es discontinua en 0 no cumple las hipotesis del enunciado

Gracias por el aporte! Me falta esta y AyGA para terminar con los finales de 1ro. En Diciembre voy por este.

(05-10-2014 00:07)Saga escribió:  1) a)

puedo puedo dividir la integral en dos partes y expresarla como

\[\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\]

hago un cambio de variable en la primera integral

\[x=-t\to dx=-dt\quad x\to -a\quad t\to a\]

entonces

\[\\-\int_{0}^{-a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}-f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)=\\\\\\=\int_{0}^{a}f(-t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx\quad *\]

como f es impar se cumple que

\[-f(t)=f(-t)\]

reemplazando en *

\[\int_{0}^{a}f(-t)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=0\]

que es lo que se queria probar

Saga, acá está el error de tu demostración, en ningún momento te dice que la función es impar, eso es justo lo que querés probar. El dato que te dan es el de la integral definida, y de ahí no podes demostrar que f es impar.

Cambia el "f es impar" por "si f es impar" bla bla bla.............o sea tampoco me propones un contrajemplo que cumpla las hipotesis del enunciado, el que me dijiste anteriormente no las cumple

Y que pasa si f no es impar?
El contraejemplo esta bien, una función continua a tramos sigue siendo integrable mientras sea acotada en el intervalo de integración, la continuidad es condición suficiente pero no necesaria.

Tu contrajemplo no es valido porque ya te dije no cumple la condicion de ser continua en [-a,a] basta analizar el limite de tu ejemplo para darse cuenta de ello , todo lo que decis puede ser correcto pero no se adapta a las condiciones e hipotesis de nuestro enunciado

Te propongo otra función que es continua en el intervalo (aunque insisto que el enunciado no pide que sea continua si o si):

Una función que valga (-2/3)ax para [-a;0] y x^2 para [0;a]
Decime cuanto vale la integral definida y mostrame ahora que tan impar es.