La resolución del ejercicio 3 es la siguiente :
\[y=f(x)\] ; \[x>0\] ; \[y(1) =\frac{2}{e}\]

\[\int_{1/2}^{x^{3}} \frac{f(\sqrt[3]{t^{^{}}})}{\sqrt[3]{t^{2}}} dt = 2xy\]

Cambio de variables

\[u = \sqrt[3]{t}\]


\[du =\frac{1}{3} t^{\frac{-2}{3}} dt\]


\[3du = \frac{1}{\sqrt[3]{t^{2}}}dt\]

Volviendo a la condición y reemplazando :

\[3\int_{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}^{x} f(u) du =2xy\]


Los límites de la integral son distintos por dicho cambio de variables.
Ahora aplicamos el teorema del cálculo integral

\[3f(x) = 2y +2xy'\] con \[y=f(x)\]

\[y= 2x y'\]

\[y = 2x \frac{dy}{dx}\]

\[\frac{dx}{2x} = \frac{dy}{y} \Rightarrow \frac{1}{2}ln (x) + c2 = ln (y) + c1\]

\[ln\sqrt{x} + c2 - c1 = ln(y)\]

\[ln(k) = c2 - c1\]

\[ln(k\sqrt{x}) = ln(y)\]

\[y = k\sqrt{x}\]


Ahora utilizamos el dato

\[y(1) = \frac{2}{e}\]

\[\frac{2}{e} = k\sqrt{1} \Rightarrow k=\frac{2}{e}\]


Reemplazando el valor de k

\[y = \frac{2}{e} \sqrt{x}\] Que cumple con la condición de derivabilidad y positividad \[\forall x> 0\]

(13-12-2012 18:22)leaan escribió:  Me quedo algo en duda, cuando tengo estas integrales y hay que aplicar el teorema fundamental
\[\int_{\frac{1}{2}}^{x^3}\frac{f(\sqrt[3]{t})}{\sqrt[3]{t^2}}dt=2xy\]
Tengo que reemplazar donde esta la t, lo que tiene x y su derivada, pero en este ejercicio tengo una parte que tiene f y otra que no
seria asi como esta hecho ?
\[\frac{f(\sqrt[3]{x^3})}{\sqrt[3]{(x^3)^2}}.3x^2\]
O asi ? la derivada de esa funcion solo va si tiene la f?
\[\frac{f(\sqrt[3]{x^3})}{\sqrt[3]{(x^3)^2}}. \frac{(3x^2)}{3x^2}\]
Gracias

Es la primera: sale de f[u(x)]*u'(x)-f[v(x)]*v'(x). La segunda parte te da 0 porque es una constante.

Como te queda f(x) sabés que f(x) = y, entonces reemplazás por y y listo. En otros casos ellos te dicen f(1) = 8 o te la asocian a un Polinomio de Taylor y ahí sacás f(1),f'(1),etc... pero nunca te enteras cuál es la función f en realidad.

Ejercicio 4a:

Serie de Potencia:
\[\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{n!}(x-1)^n\]

Módulo
\[\sum_{n=1}^{\infty }|\frac{n^2}{n!}(x-1)^n|\]

D'Alembert
\[\lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|<1\]

\[\lim_{n\to\infty}|\frac{\frac{(n+1)^2.(x-1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^2.(x-1)^n}{n!}}|=\lim_{n\to\infty}|\frac{(n+1)^2.(x-1)^{n+1}.n!}{n^2.(x-1)^n.(n+1)!}|=\lim_{n\to\infty}|\frac{(n+1)^2.(x-1).n!}{n^2.(n+1)!}|\]

La parte del factorial:
\[\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{n!}{(n+1)(n+1-1)!}=\frac{n!}{(n+1)(n)!}=\frac{1}{(n+1)}\]

Sigo con el límite:
\[\lim_{n\to\infty}|\frac{(n+1)^2.(x-1)}{n^2.(n+1)}|=\lim_{n\to\infty}|\frac{(n+1).(x-1)}{n^2}|=|x-1|\lim_{n\to\infty}|\frac{n+1}{n^2}|\]
\[=|x-1|\lim_{n\to\infty}|\frac{n/n^2+1/n^2}{n^2/n^2}|=|x-1|\lim_{n\to\infty}|\frac{1/n+1/n^2}{1}|=|x-1|*0\]

0 < 1

Esto quiere decir que CV para todos los Reales:
Intervalo de Convegencia: \[(-\infty;+\infty)\]

Ejercicio 4.b:
\[\lim_{x\to\infty}n^2/n!*sen((2n+1)\frac{\pi}{2})\]
Esto es 0 por acotada = 0

No entiendo en qué tengo que usar el 4.a

Ejercicio 5
\[g(x) = 8-e-x^2\]
\[f(x) = x^{lnx}\]

Para x=e:
\[y = e^{ln(e)} \to y = e\]

Aplicando Logaritmo
\[ln y = ln x^{lnx} \to lny = lnx.lnx\]

Derivada Logarítmica
\[\frac{1}{y}.y' = \frac{2.ln(x)}{x} \to y' = \frac{2.ln(x).y}{x}\]

En (e,e)
\[y' = \frac{2.ln(e).e}{e} \to y' = 2\]

Ecuación de la Recta Tangente de f(x) en x=e
\[y = f(x)+f'(x)(x-x_{0})\]
\[y = f(e)+f'(e)(x-x_{0}) \to y = e+2(x-e) \to y = e + 2x -2e \to y = 2x -e\]

Punto de intersección entre f(x) y g(x)
\[2x -e = 8 - e - x^2 \to 2x = 8 - x^2 \to x^2+ 2x - 8 = 0 \to x = 2 ;x=-4\]

Área
\[\int_{-4}^{2}(8-e-x^2)-(2x-e) = \int_{2}^{e}(-x^2-2x+8)=(-\frac{x^3}{3}-{x^2}+8x)|de.-4.a.2\]
\[(-\frac{2^3}{3}-{2^2}+16)-(-\frac{(-4)^3}{3}-(-4)^2+8(-4))=\frac{28}{3}+\frac{80}{3}=36ua\]

Gráfico de y=2x-e.



Gráfico de y=8-e-x^2.