Buenas!

Les dejo los enunciados de la parte práctica del 2do Parcial del Prof. Hernández tomado el día 7/7/16.
Adjunto también la resolución de los puntos 1 y 4, el 2 también lo había hecho pero usé el teorema de la divergencia y creo que no se podía, así que no lo subo.
Si me pueden dar una mano con los ejercicios que no estan resueltos sería genial!

Enunciados:

1) Hallar la circulación de \[\overline{f}(\overline{x}) = (y^{2}; e^{z}; e^{y})\] a través de la curva intersección de las superficies \[x^{2} + y^{2} = 2y\] ^ \[z = y\]. Indicar sentido en el gráfico.

2) Calcular el flujo de \[\overline{f}(\overline{x})\] sobre la porción de superficie abierta \[z = 5 - x^{2} - y^{2}\] con \[z \geq 1\]. Siendo \[\overline{f}(\overline{x}) = (x^{2}; y; 3)\] ^ \[ Div(\overline{f}(\overline{x})) = 2x + 2\]. Indicar el sentido de la superficie.

3) Determinar \[g(x)\] para que \[\overline{f}(x;y) = (yg(x); g(x))\] sea un campo de gradiente. Suponga \[\overline{f}(0;2) = (8; 4)\]. Para \[\overline{f}(x;y)\] determine la línea de campo que pasa por \[(0; 2)\].

4) Hallar el área de la porción de superficie \[x^{2} + z^{2} = 5\] limitada por \[0 \leq y \leq x\] ^ \[x \leq 1\] ^ \[z \geq 0\].

Adjunto mis resoluciones (no aseguro que estén 100% bien).

Saludos!

(10-07-2016 22:07)Lester escribió:  4) Hallar el área de la porción de superficie \[x^{2} + z^{2} = 5\] limitada por \[0 \leq y \leq x\] ^ \[x \leq 1\] ^ \[z \geq 0\].

Adjunto mis resoluciones (no aseguro que estén 100% bien).

Saludos!

El 4 está bien planteado, pero le pifiaste a una cuenta, ¿puede ser?

Acá, más precisamente.


Teniendo en cuenta que ese pedacito de superficie alabeada es muy parecida a la de un triángulo de base 1 y altura 1, el área de dicha superficie alabeada debería rondar los 0,5 más o menos (haciendo base por altura sobre 2, te da 0,5)... por eso me llamó la atención cuando te dio \[-20+10\sqrt{5}\], que es 2,36 más o menos.

Más o menos, quedaría algo así me parece...
\[\sqrt{20}\] es lo mismo que \[2\sqrt{5}\]. Simplificás ese 2 con el 2 de abajo y te queda algo así la integral: \[\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5-x^2}}dy\].
Resolviendo... \[\sqrt{5}\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{5-x^2}}dy = \sqrt{5}\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{5-x^2}}dx=\sqrt{5} \cdot (-2+\sqrt{5})=5-2\sqrt{5} \approx 0,5278\].

Saludos!