1) a)
i) Es verdadera ya que cumple el teorema de Rolle, por ser derivable, y continua en [-1;1] (Esto ultimo es la condición necesaria de derivabilidad)
ii) Planteo el resto de Taylor, y llego a la conclusion que es verdadero, porque "La derivada de orden n+1 de un polinomio de gran n siempre es cero"

b) Planteo la condicion necesaria para la existencia de un extremo

F'(Xo)=0

Derivo, valuo en -1 y 1 y despejo, y me queda k=1/2

Para asegurar que es un extremo, analizo la existencia de F''(-1) y F''(1)

Para ambos me dio un valor negativo, por lo tanto los extremos existen y son maximos. Luego obtengo el valor reemplazando F(x) Por -1 y 1

2) a)
i) No se puede resolver ya que la función no esta definida en x=1. Falso

ii) Derivo ambas funciones, aplicando el teorema fundamental del calculo integral

Ambas quedan \[-\frac{1}{1+x^2}\]

2) b)

Hallo el punto de interseccion, que es \[|X|=\sqrt{k}\]

Grafico vagamente y me doy cuenta que el área total que encierran las funciones, va a ser igual a dos veces el área del primer cuadrante, ya que es simetrico.

entonces A= 2 X \int_{0}^{\sqrt{k}}kx-x^3 {d} x = \frac{9}{4}

Resuelvo y tengo |K| = 3

3) a) NO ME SALIO Alguien que me de una mano

b) Hallo el radio, que es \[\frac{1}{\lim_{n \to oo}|\frac{an+1}{an}|}\]

me da 1/2. Converge absolutamente |X-2|<1/2
Int de convergencia abs (3/2<X<5/2)

En X=5/2, por comparación Diverge
Y en X=3/2 queda la misma serie, pero alternada, y por leibniz converge

Por lo tanto Int de convergencia abs (3/2<X<5/2]