Hola gente, les comento que no consigo todavia el parcial completo. Pero copie los ejercicios 1,2 y 4 . Apenas consiga el parcial se los paso (faltaria el ejercicio 3 nada mas)
Se trata del 1° Recuperatorio del 2° Parcial de Analisis Matematico II del profesor Santamartina.


Ejercicios del segundo parcial:


1) Sea \[f(x,y,z)= (g(y)+z,g(x)+z,2+z)\], con \[g\] \[\epsilon \] \[C^1\] , determine el flujo por la superficie de ecuacion \[z=\sqrt(4-x^2-y^2)\] . Indique el versor normal utilizado.



2)Determinar g para que el trabajo del cuerpo \[f(x,y)=(y.g(x),g(x))\] no dependa de la trayectoria y calcular dicho trabajo desde \[(1,3)\] hasta el \[(1,4)\], suponiendo que \[|\vec f|_ (0,2)= (6,3)\]



4) Determine el area de la Superficie de ecuacion \[y=x^2 \] con \[ 0<z<y^\frac{1}{2} \] , \[y<4\] , \[x>0\]

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Acá les pasó los ejercicios 1 y 4. Si alguien se copa que haga el 2.
Apenas tenga el parcial, subo todos los ejercicios juntos.


1) Me estan pidiendo el flujo que pasa a traves de una superficie, dicha superficie es una semiesfera de \[z\] positivo . Sería fácil determinar el flujo si el campo que nos dieron no fuera tan complicado (notar que tiene \[g(y)\] y \[ g(x)\]).

Entonces, lo que yo propongo, es sacar a través de Gauss (Teorema de la divergencia) el flujo a través de toda la superficie, para luego restarle la tapa circular de abajo.


Operando:


4) Para sacar el area, debemos recordar que el area de una superficie es:
Area = \[\iint_{R} \left \| (g´_x x g´_y) \right \|\] .
(Dentro del módulo es la multiplicacion vectorial de las derivadas parciales de g respecto a x e y)



Me faltaria hacer el de trabajo, pero no lo entiendo todavia. Como ven, estos dos ejercicios estaban casi regalados para aprobar el parcial...pero casi nadie lo aprobó.

Saludos!

2) supongo que te falto aclarar que g es C1 sino no se puede hacer nada al respecto, considerando esta hipotesis de por medio.......

Por definicion si un campo es conservativo su matriz jacobiana es simetrica,

\[D_f=\begin{pmatrix}yg'(x) & g(x) \\\\ g'(x) & 0 \end{pmatrix}\]

de donde

\[g'(x)=g(x)\to \frac{dy}{dx}=y\to y=g(x)=Me^x\]

por hipotesis sabes que

\[f(0,2)=(6,3)\to f(0,2)=(2g(0),g(0))=(6,3)\to g(0)=3\]

reemplazando obtenes que M=3, entonces \[\boxed{g(x)=3e^x}\]

el campo f sera \[\boxed{f(x,y)=(3e^xy,3e^x)}\]

como f es un campo conservativo, entonces se cumple que \[\nabla \phi=f\] con lo cual podemos hallar la funcion potencial integrando

\[\int 3e^xydx\quad \int 3e^xdy\to \boxed{\phi(x,y)=3e^xy+K}\]

finalmente solo hay que hacer

\[\boxed{\omega=\phi(1,4)-\phi(1,3)=3e}\]

como el trabajo es mayor que 0 la energía cinética aumenta, y la particula aumenta su velocidad

Groso man, ahora me fijo si encuentro el parcial completo!