Hola, estuve varias horas con este ejercicio y no logro conseguir una funcion que pueda integrar, a ver si alguien me puede ayudar.

-- Sea la familia de curvas Y=Cx + C , calcule la longitud de la curva de la familia ortogonal que pasa por (1,2).


Muchas gracias por la ayuda que me puedan dar.

fijate que la ecuacion q tenes una sola constante, si derivas la ecuacion obtenes \[y'=C\]

reemplazas el valor de la constante C, en la ecuacion original, acomodando un poco terminos tenes

\[y=C(x+1)\to y'=\frac{y}{x+1}\] ED1

por definicion de ortogonalidad

\[y'=-\frac{1}{y'}\]

reemplazamos en la ED1

\[-\frac{1}{y'}=\frac{y}{x+1}\]

de donde

\[y'=\dfrac{dy}{dx}=-\frac{x+1}{y}\]

solo queda integrar y aplicar las condiciones iniciales que te dan en el enunciado

Hasta ahi esta ok, luego de integrar y aplicar las condiciones iniciales queda la curva ortogonal que es

y^2=-x^2-2x+7

lo que me cuesta es la integral apra sacar la longitud de la curva, como queda una raiz imagino que la longitid de la curva es desde (0,a), ¿como se haria esa parte?

ok fijate que si acomodas un poco esa ecuacion tenes

\[C: (x-1)^2+y^2=8\]

una circunferencia con centro en el (1,0) y radio raiz de 8, parametrizando de forma conveniente tenes

\[g:R\to R^2/g(\theta)=(1+\sqrt{8}\cos\theta,\sqrt{8}\sin\theta)\quad \theta\in [0,2\pi]\]

podes concluir ahora ?