Hola! Alguien podria ayudarme con el siguiente ejercicio de flujo?

Dado \[f(x,y,z)\]=\[(2y,-x,x^{2}-z)\] calcule el flujo de f a travez de la superficie abierta de ecuacion z = \[x^{2}+2y^{2}\] con \[z\leq 8-x^{2}\]

Lo que yo hice fue intentar calcularlo normalmente (sin usar gauss y div) y en un momento dado llego a \[2\int \int y^{2}\] y ya no puedo avanzar, no se si esta bien plantearlo sin gaus y a lo mejor por eso no pude llegar a algo mejor. En fin, a quien me pueda ayudar muchisimas gracias!!!

El recinto proyección sobre el (x,y) de la intersección entre \[z = x^2 + y^2\] con \[z\leq 8 - x^2 \] es:

\[8 - x^2 = x^2 + 2y^2 \rightarrow x^2+y^2 = 4\]

De acá tiras polares y listo...

Buenisimo! Gracias!! puede se que quede algo asi??


\[\phi = 2 \int_{0}^{2\pi }Sen^{2}\theta d\theta \int_{0}^{2}\rho^{3}d\rho = 8\pi \]


Puede ser que de asi? Gracias!

(05-12-2011 00:28)thewithin escribió:  Buenisimo! Gracias!! puede se que quede algo asi??


\[\phi = 2 \int_{0}^{2\pi }Sen^{2}\theta d\theta \int_{0}^{2}\rho^{3}d\rho = 8\pi \]


Puede ser que de asi? Gracias!

correcto

saludos

hola disculpa una pregunta viendo el eejercicio, me queda duda al ver que es lo que va adentro de la integral, los limites entendi, pero como encontro la normal?

Hay 2 maneras de resolver el ejercicio Laureano1991, con Gauss (acá deberías cerrar la superficie con la otra) o podes sacar el flujo con la normal y el diferencial de superficie (ahora vamos a eso...)

Tenes \[f(x,y,z)\]=\[(2y,-x,x^{2}-z)\] con la superficie abierta z = \[x^{2}+2y^{2}\] con \[z\leq 8-x^{2}\]. Lo que te quiere decir esto es lo siguiente, vos tenes que calcular el flujo del paraboloide, PERO SÓLO hasta el pedazo de superficie intersección con el paraboloide de eje y (\[z\leq 8-x^{2}\]).

Planteas la integral de flujo

\[\iint \ f(x,y,z) * n d\sigma\]

El campo, lo tenes, la normal se saca sobre la superficie que se quiere realizar el cálculo del flujo. Acá a vos te piden el flujo sobre la superficie z = \[x^{2}+2y^{2}\], entonces la normal va a ser a esta superficie.

Si tomamos a z = \[x^{2}+2y^{2}\] como una \[F (x,y,z)=0\], la normal al mismo va a ser:

\[n=\frac {(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} )}{\sqrt{\frac{\partial F}{\partial }^2+\frac{\partial F}{\partial y}^2+\frac{\partial F}{\partial z}^2}}}\] (incluye a la derivada parcial respecto de z la raíz, pasa que el Leatex a esta hora de la noche no le sigo los pasos ).

Entonces empezás:

\[\frac{\partial F}{\partial y} = -4y\]

\[\frac{\partial F}{\partial z} = 1\]

\[\frac{\partial F}{\partial x} = -2x\]

\[n= \frac{(-2x,-4y,1)}{\sqrt{4x^2+16y^2+1}}\]

¿Se entendió algo? .

disculpa mi profesor, hace los ejercicios sacando la normal parametrizando la curva, que seria exactamente lo mismo???
tipo parametrizo respecto a 2 variables, saco la derivada respecto d una, saco la derivada respecto la otra y hago producto vectorial. Seria lo mismo?

EmiN, ¿cómo andas?. Sí, hay 2 formas de realizar el flujo, de esta forma o parametrizandolo. Fijate cual te sea más cómodo en cada caso...

Si lo hacés parametrizando sería...

\[\Phi (x,y)=(x,y,x^2+2y^2)\]

\[\Phi'_x \times \Phi'_y=(1,0,2x) \times (0,1,4y)= (-2x,-4y,1)\]

\[\int_D \int \bar{f}[\Phi (x,y)].(\Phi'_x \times \Phi'_y)dxdy\]

Saludos!

OKOK gracias che!!

geniaaal como pensaba!!! muchas gracias!!

Disculpen, yo se que es un post viejo pero estoy estudiando para dar el final de AM2 y me surgió una duda con este ejercicio...

Yo empecé haciendo esto:

\[\bigtriangledown f\left ( x,y,z \right ) = \left ( 0,0,-1 \right )\]

Y luego hice

\[\bigtr\int \int f \left ( x,y,z \right ) \cdot \bigtriangledown f\]

Y reemplacé \[z\] por \[x^2 + 2y^2\]..

Y entonces me quedó:

\[\bigtr\int \int (2y,-x,x^2 - x^2 - 2y^2) \cdot (0,0,-1) dx dy\]

\[\bigtr\int \int 2y^2 dx dy\]

\[2\bigtr\int \int r^2 sen^2\varphi r dr d\varphi = 8\pi \]


Yo se que el producto vectorial que muestra matyary me da el \[\bigtriangledown f\] y que justamente por eso da lo mismo...

Mi duda es si estoy cometiendo algun error conceptual al utilizar el gradiente y no hacerlo como lo hizo matyary.

Gracias!

(01-06-2012 19:25)Poltecito escribió:  Yo empecé haciendo esto:

\[\bigtriangledown f\left ( x,y,z \right ) = \left ( 0,0,-1 \right )\]

me detengo acá y nos ponemos de acuerdo en algo.. entiendo que estas tomando el campo vectorial

\[f(x,y,z)=(2y,-x,x^2-z)\]

correcto?? y ese campo le estas calculando que.... el gradiente .. ?

recorda que si el campo es escalar el gradiente se calcula como las derivadas parciales respecto de cada variable

\[f(x,y,z)=3x^2+y-3z^3\]

donde el gradiente de f es \[\nabla f=(6x,1,9z^2)\]

Ahora si un campo es vectorial lo que calculas es la matriz jacobiana por ejemplo

\[f(x,y,z)=(x,y,z)\]

el jacobiano de f sera

\[D_f=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Me pa que, te estas confundiendo al sacar el jacobiando del campo vectorial, ya que ahi tenes un campo vectorial y no un escalar.

Ah! Y si.. bastante bolud* lo mio.. jajajaj...

Como siempre... gracias Saga!