Hola, estuve resolviendo este ejercicio (que pide hallar el volumen dado por las regiones que pongo en el primer renglon. Pero llego a resultado cero ( V = 0) Alguien me podria explicar porque llego a este valor y como deberia resolverlo?

Quizas me equivoque en alguna cuenta o algo por el estilo...

   

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A la integral que va de 0 a 2pi le falta un termino (que es "-1/3 A^3"), me lo comi, pero fijense que puse una flecha de doble sentido indicando que son iguales y que se me cancelan y me quedaria la integral entre 0 y 2pi del diferencial tita... por lo que me queda como resultado final 0 (cero)

mmm ahora estoy en el laburo, pero este tipo de ejercicios de conos y esferas salen mas simples si los haces con coordenadas esfericas y no con cilindricas ... cuando este en casa lo reviso bien , pero debe ser algun error en alguna cuenta , los limites de integracion estan bien .

La verdad que no entendi tu resolucion me perdi un poco, como te dije antes estos ejercicios que involucran esferas y conos es mas sencillo en coordenadas esfericas

Si tomo las coordenadas esfericas (las que aprendi en la cursada) entonces el volumen queda definido como

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\sqrt{2}a} r^2\cos w drdwd\theta=\frac{4}{3}(\sqrt{2}-1)\pi a^3\]

Si las tomo las esfericas (que la mayoria usa)

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\int_{0}^{\sqrt{2}a} r^2\sin w drdwd\theta=\frac{4}{3}(\sqrt{2}-1)\pi a^3\]

como veras son integrales sencillas de resolver

Claro, ahí esta, con esféricas me salio salio al toque jaja gracias!