Hola,que tal...tengo una pequeña duda de dos segundos.

¿Puede hacerse un cambio de variable en un límite?
La cosa es así,tengo que calcular:

\[lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ sen(4-xy)/(16 - (xy)^2)\]

Lo que hago,y no se si esta bien hacerlo (ni tampoco que es lo que me garantiza que va a dar el mismo límite) es usar una variable z y hacer

\[z = x*y\]

Entonces,cuando

\[(x,y) \rightarrow (2,2) \Rightarrow z \rightarrow 4\]

y reemplazo f(x,y) = f(z). Asumo que da el mismo límite y calculo

\[lim \ z \rightarrow 4 \ f(z) = \. sen(4-z)/(16 - (z^2)\]


Como lo de arriba tiende a cero y lo de abajo también,aplico L'hopital y llego a

\[]lim \ z \rightarrow 4 \ f(z) = \. -1*cos(4-z)/(-2*z)\]

Lo de arriba,por reemplazo directo queda \[-1*cos(0) = -1\] y en lo de abajo tengo \[-2*4 = -8\] lo que simplificado queda como 1/8 que es la respuesta que da la guia.
Mi pregunta es si este cambio de variable es válido y si no es mucho pedir,el porque es válido.

Gracias de antemano.

Promocione AM2 el año pasado y ya me acuerdo poco. Así que si me mando un moco no me mates jajaj

Si haces el límite (x,y)-->(2,2) a sen(4-xy) te da 0
luego como 1/(16-(xy))^2) es una función acotada quedaría el resultado del limite a 0 multiplicado a una función acotada que es 0. Ojala te sirva y no haya flasheado cualquiera. Suerte

Che te la estás re complicando...

\[lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(16 - (xy)^2)}=\]


\[=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(4-xy)(4+xy)}=\]

\[=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{1}{4+xy}=\frac{1}{8}\]

Todo sale por la propiedad famosa del límite:

\[lim x\rightarrow 0 \ \frac{sen(x)}{x}=1\]


Saludos!

Igual no conteste tu pregunta. Sí, podes hacer el cambio de variables pero no te asegura que sea contínua o no, en caso de que te lo pregunten porque hay infinitos cambios de variables, es conveniente siempre hacer el limite directo si lo podes hacer

che,pero si (x,y)-->(2,2) entonces 1/(16-(xy))^2) tiende a infinito porque lo de abajo tiende a cero...entonces no esta acotada! Además la guia dice 1/8.xD
Igual lo que buscaba era saber si estaba bien el procedimiento que use y que me lo puede garantizar =D.

Gracias igual.

PD: Y el cambio de variable, cualquiera sea siempre es válido. Sirve para facilitarte las cosas aunque en este caso no en necesario.

(03-02-2012 00:05)matyary escribió:  Che te la estás re complicando...

\[lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(16 - (xy)^2)}=\]


\[=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(4-xy)(4+xy)}=\]

\[=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{1}{4+xy}=\frac{1}{8}\]

Todo sale por la propiedad famosa del límite:

\[lim x\rightarrow 0 \ \frac{sen(x)}{x}=1\]


Saludos!

¿Banca,como hiciste para sacar (4-xy) del denominador? Eso no se puede simplificar con lo de arriba.
Con respecto a lo otro,pregunte lo del cambio de variables,porque no se si vale aplicar l'hopital directo en una función de dos variables (no vi ningún teorema que afirme esto).

Cita:Igual no conteste tu pregunta. Sí, podes hacer el cambio de variables pero no te asegura que sea contínua o no, en caso de que te lo pregunten porque hay infinitos cambios de variables, es conveniente siempre hacer el limite directo si lo podes hacer

Pero no deberían tender todos a lo mismo? Digo,al fin y al cabo lo que estoy haciendo no es alterar las dos variables originales sino cambiarlas por una equivalente.

Si que se puede rulo, sale del teorema que te puse abajo... y:

\[16-(xy)^2=(4-xy)(4+xy)\]

Aparte magia no hice, me dio lo mismo que a vos y que la guía Jajaja

Rulo, ¿cómo andas?. Yendo al rigor teórico, no tengo claro si es posible un cambio de variable, pero desde el punto de vista práctico creo que es muy útil y una buena solución al fin.
Sobre el ejercicio, no hace falta que apliques L'hopital... Veamos un poco:

\[\lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{sen(4-xy)}{(16-(xy)^2)}\] es el límite a resolver.

\[16-(xy)^2\] viene de una multiplicación de 2 conjugados, los cuales son:

\[16-(xy)^2 = (4-xy) * (4+xy)\]

Separamos un poco el límite:

\[\lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{sen(4-xy)}{(4-xy) * (4+xy)}\]

Por propiedad de los límites, el producto de 2 funciones en límite es el límite de los productos:

\[\lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{sen(4-xy)}{(4-xy)} * \lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{1}{(4+xy)}\]

Lo primero tiende a 1 claramente y lo segundo a \[\frac{1}{8}\], y de ahí el resultado.

¿Se entendió algo?.

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Ahhhhhhhhhhhhhhh, ya te contesto Matyary (groso, bien ahí ).

Ah,listo,gracias Aivan...ahora entendi que lo que hizo Matyary era multiplicar por la funcion cuyo limite daba uno...(yo pense que estaba simplificando términos xD).

Gracias a los dos!

PD:el cambio de variables lo vi usado para probar el teorema del valor medio de campos escalares en el libro de apostol pero nunca usado en un límite.

Saludos!:

Jajajaja suele pasar. Se tarda mucho en tipear el código y cuando le das enter a veces aparecen respuestas previas.

Si, sumado a lo lerdo que lo escribo .

De nada Rulo, cualquier cosa chifla .