Hola, aca traigo la segunda parte del recuperatorio para resolver. Una duda en la región \[V\] del 1). no me doy cuenta como graficarla, se que es un plano en -3 y la raíz un cono tomando su parte negativa no?

1).Sea la región \[V=\{(x,y,z):-\sqrt[ ]{25-x^2-y^2}\leq{z}\leq{-3}\}\].

a). Grafique \[V\].

b). Plantear la integral de:

i). el área de la superficie de \[V\].

ii). el volumen de \[V\].

c).Halle el flujo del campo \[F(x,y,z)=(-y,x,z)\] a través de la superficie de \[V\].

2).Dado el sistema \[\begin{cases}& \text{} F_1(x,y,u,v)=xu+yvu^2=2 \\ & \text{} F_2(x,y,u,v)=xu^3+y^2v^4=2 \end{cases}\] y el punto \[P(1,1,1,1)\].

a). Pruebe que es posible despejar \[u\] y \[v\] en función de \[x\] e \[y\] de manera única en un entorno de \[P\].

b). Halle \[\frac{{\partial u}}{{\partial x}}\] en el punto \[(1,1)\].

3).Aplicando el Método de Lagrange determine los extremos relativos de \[f(x,y)=(x-1)^2+2y^2\] sobre la curva \[(x-1)^2+y^2=1\]. Justifique para cada uno de los extremos encontrados su caracter de máximo y mínimo analizando el signo del \[d^2F\].

4). Considere la siguiente región sólida \[V\] de \[\mathbb{R}^3\] expresada en coordenadas esféricas:

\[V=\{(\rho,\theta,\varphi)\}\in{\mathbb{R}^3:sec \varphi\leq{\rho}\leq{2},0\leq{\theta}\leq{2\pi},0\leq{\varphi}\leq{\varphi_0}}\}\]

a). Hallar \[\varphi_0\] y expresar \[V\] en coordenadas cilíndricas y rectangulares.

Es una semiesfera. Si elevás al cuadrado a ambos lados de la igualdad, \[ 25-x^2-y^2=z^2 \Rightarrow x^2+y^2+z^2=25 \] con \[ z \le 0 \].

Entonces, tenés un sólido limitado inferiormente por la semiesfera, y superiormente por el plano \[ z=-3 \].