Hola, podrían ayudarme a resolver este parcial gracias!

1).De una cierta función \[f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\] se tiene la siguiente información:

\[\nabla{f}=(6xy+y^3,3x^2+3y^2x)\] y \[f(1,-1)=-4\]

a).Responda y justifique:
i).¿Es \[f(x,y)\] diferenciable en todo punto de su dominio?

ii).Halle, si existe, la ecuación del plano tangente a la gráfica de \[f\] en el punto \[P(1,1,-4)\].

iii).¿Existe un vector unitario \[u\] tal que \[D_uf(1,-1)=10\]?

Obs:\[D_uf(x,y)\]= matriz derivada de \[f\]. Aca me confundi esto no es la matriz derivada, es la derivada direccional de \[f\] en la dirección del vector u

b).Sea \[ h(u,v)=(f\circ{\vec{g}})(u,v)\] y \[\vec{g}(u,v)=(5uv+u^2,2v^3-u)\].

i).Halle la matriz de derivadas primeras de la función \[h(u,v)\] en el punto \[(-2,1)\].

ii).Utilizando la regla de la cadena halle \[\frac{{\partial ^2h}}{{\partial u}{\partial v}}\] en el punto \[(-2,1)\].


2).Dada \[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\] y los puntos P=(0,0) y Q=(0,1).

a)Analizar la continuidad de f(x,y).

b)Hallar, si existen, \[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\] y \[\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\] en los puntos dados.


3).
\[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\]

a).Calcular la derivada direccional de la funcion en el origen a lo largo de la curva \[y=x+x^2\]


4).Hallar \[a\] y \[b\] para que la derivada direccional máxima de la función \[z=e^{ax+by}cos(x+y)\] en el punto \[(0,0)\] sea \[3\sqrt[ ]{2}\] en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante.


5).Dada \[z=f(x^2-y^2,y^2-x^2)\] utilizando la regla de la cadena probar que \[y\frac{{\partial z}}{{\partial x}}+x\frac{{\partial z}}{{\partial y}}=0\]

(08-04-2013 11:06)sebairi escribió:  Hola, podrían ayudarme a resolver este parcial gracias!

1).De una cierta función \[f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\] se tiene la siguiente información:

\[\nabla{f}=(6xy+y^3,3x^2+3y^2x)\] y \[f(1,-1)=-4\]

a).Responda y justifique:
i).¿Es \[f(x,y)\] diferenciable en todo punto de su dominio?

Sí, observa que las componentes del gradiente de f son clase 1, entonces f es derivable y diferenciable para todo punto de su dominio

Cita: ii).Halle, si existe, la ecuación del plano tangente a la gráfica de \[f\] en el punto \[P(1,1,-4)\].

Aplica la definicion directamente, no hay muchas cuentas por hacer solo reemplazar y operar, recorda que si f es diferenciable entonces

\[z\approx f(1,-1)+f'_x(1,-1)(x-1)+f'_y(1,-1)(y+1)\]

Cita: iii).¿Existe un vector unitario \[u\] tal que \[D_uf(1,-1)=10\]?

Como f es diferenciable entonces se cumple que

\[f'(A)=\nabla f(A)\cdot\breve{r}=10\]

donde r sera un versor unitario de componentes \[\breve{r}=(a,b)\] busca la relacion entre esas componentes ..

Ahora salgo, los otros te los contesto, cuando vuelva o tenga un tiempo libre.... bienvenidos comentarios

Hola Gracias!! por tu ayuda Saga, disculpa que respondo tarde.

Bien entendi el ejercicio 1).

En el ejercicio 2 inciso a) se calcular la continuidad de la funcion a trozos lo que no aclara en que punto, imagino que sera en el origen donde esta definida lo raro es que da un punto \[P\] en el origen tambien.

En el inciso b). hallar las derivadas parciales en los puntos \[P\] y \[Q\], con respecto al punto \[P\] tengo que usar la definición de límite y en el punto \[Q\] como es distinto de \[(0,0)\] derivo normalmente ¿verdad?

Me olvide de poner el inciso c). que decia de analizar la diferenciabilidad de \[f\] en \[P\] y \[Q\]. Bueno si en los puntos \[P\] y \[Q\] comprobe que existen sus derivadas parciales y son continuas es condición suficiente para la diferenciabilidad y la otra condición que se, es que si no es continua la función en el punto no es diferenciable en el mismo. Me falto alguna?

Cuando tengo valor absoluto en esta función trabajo normal sacando las barras o tengo que separar entre la parte positiva y negativa y trabajar con cada una.

En el ejercicio 3 me da la función a trozos y el punto en el origen para el calculo de la derivada direccional, no entiendo la parte de (alrededor de la curva) y como obtener le vector.

Disculpa tantas dudas, despues voy a seguir con los otros problemas

Saludos

(08-04-2013 11:06)sebairi escribió:  Hola, podrían ayudarme a resolver este parcial gracias!

1).De una cierta función \[f:\mathbb{R}^2\longrightarrow{\mathbb{R}}\] se tiene la siguiente información:

\[\nabla{f}=(6xy+y^3,3x^2+3y^2x)\] y \[f(1,-1)=-4\]


Obs:\[D_uf(x,y)\]= matriz derivada de \[f\].

b).Sea \[ h(u,v)=(f\circ{\vec{g}})(u,v)\] y \[\vec{g}(u,v)=(5uv+u^2,2v^3-u)\].

i).Halle la matriz de derivadas primeras de la función \[h(u,v)\] en el punto \[(-2,1)\].

te piden el gradiente de la funcion h en un punto (-2,1) aplica la definicion

\[\nabla h(-2,1)=\nabla f(g(-2,1))\cdot \nabla g(-2,1)\]

o sea (si no me equivoque en las cuentas)

\[\nabla h(-2,1)=\nabla f(-6,4)\cdot \nabla g(-2,1)\]

Cita:ii).Utilizando la regla de la cadena halle \[\frac{{\partial ^2h}}{{\partial u}{\partial v}}\] en el punto \[(-2,1)\].

arma el arbol de correspondencia correspondiente , solo es hacer un poco de cuentas intentalo, si no te sale nos vemos por aca otra vez

Cita:2).Dada \[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x\left |{y}\right |}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\] y los puntos P=(0,0) y Q=(0,1).

a)Analizar la continuidad de f(x,y).

toma coordenadas polares, no es necesario analizar el modulo para determinar la continuidad en el (0,0), la respuesta es inmediata, en el (0,1) solo toma la parte positiva y analiza la continuidad de f

Cita:b)Hallar, si existen, \[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}\] y \[\frac{{\partial f}}{{\partial y}}\] en los puntos dados.

solo te piden que analizes la existencia de las primeras derivadas...o sea aplicar las definiciones correspondientes

\[f'_x=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}\]

\[f'_y=\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}\]

analogo para el punto (0,1)

Cita:En el ejercicio 2 inciso a) se calcular la continuidad de la funcion a trozos lo que no aclara en que punto, imagino que sera en el origen donde esta definida lo raro es que da un punto [P] en el origen tambien.

en el (0,0) esta definida es funcion como dije antes tomando coordenadas polares la respuesta es inmediata

en el (0,1) tenes que analizar si f es o no continua y definirla vos

Cita:En el inciso b). hallar las derivadas parciales en los puntos [P] y [Q] , con respecto al punto [P] tengo que usar la definición de límite y en el punto [Q] como es distinto de [(0,0)] derivo normalmente ¿verdad?

como solo te piden la existencia de las parciales tenes que hacerlo en ambos puntos por definicion .... no es necesario derivar

Cita:Me olvide de poner el inciso c). que decia de analizar la diferenciabilidad de [f] en [P] y [Q] . Bueno si en los puntos [P] y [Q] comprobe que existen sus derivadas parciales y son continuas es condición suficiente para la diferenciabilidad y la otra condición que se, es que si no es continua la función en el punto no es diferenciable en el mismo. Me falto alguna?

si las parciales existen y son continuas, implica que f es clase 1 esa definicion es la mas "fuerte" para determinar la diferenciabilidad, si estan bien hechas las cuentas entonces f seguro es diferenciable

si f no es continua entonces no es diferenciable, ya que esa es una condicion necesaria pero no suficiente para que f sea diferenciable.... f puede ser no continua y ser diferenciable

con probar alguna alcanza... no es necesario aplicar todas las condiciones de diferenciabilidad, a no ser que lo explicite el enunciado

Cita:Cuando tengo valor absoluto en esta función trabajo normal sacando las barras o tengo que separar entre la parte positiva y negativa y trabajar con cada una.

como dije antes, en este caso no es necesario abrir el modulo...pero si lo queres hacer de esa manera... es tal cual decis tenes la parte positiva por un lado y negativa en el otro cuando analizes en el (0,0) . En el (0,1) solo tenes que tomar la parte positiva ya que el entorno alrededor del punto es siempre positivo...

Mas tarde veo los otros dale?? intenta los que te indique, cualquier duda .....

Hola, disculpame no volvi mas por aca estaba con fisica muchas gracias por tu ayuda!!

3).
\[f(x,y)=\begin{Bmatrix} \displaystyle\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} & \mbox{ si }& (x,y)\neq{(0,0)}\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\]

a).Calcular la derivada direccional de la funcion en el origen a lo largo de la curva \[y=x+x^2\]

Hice el 3 a ver si esta bien:

Bien tengo la función, el punto y la direccion del vector es a lo largo de una curva que tengo que encontrarlo, entonces hallo un vector tangente unitario a la curva \[y=x+x^2\] en el punto P(0,0), con la primera componente positiva y derivo la componente y: \[\vec{v}_t=(1,1+2x)\] y lo evaluo en el punto \[\vec{v}_t(0,0)=(1,1)\] luego calculo su módulo \[\left\|{\vec{v}_t(0,0)}\right\|=\sqrt[ ]{2}\] entonces el vector tangente unitario queda \[\vec{v}_t=\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}},\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}} \right)\]

Calculo las derivadas parciales en el punto aplicando la definición me quedaron asi

\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=1\]

\[\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=1\]

Y por ultimo aplico la definición multiplicando el vector gradiente por el vector \[D_{\vec{v}}f(0,0)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}+\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{2}}\]



4).Hallar \[a\] y \[b\] para que la derivada direccional máxima de la función \[z=e^{ax+by}cos(x+y)\] en el punto \[(0,0)\] sea \[3\sqrt[ ]{2}\] en la dirección de la bisectriz del primer cuadrante.

La función es continua por ser composición de funciones continuas y es diferenciable por ser las derivadas continuas en todo \[\mathbb{R}^2\]:

\[z'_x=\frac{{\partial f}}{{\partial x}}=ae^{ax+by}cos(x+y)-e^{ax+by}sen(x+y)\]

\[z'_y=\frac{{\partial f}}{{\partial y}}=be^{ax+by}cos(x+y)-e^{ax+by}sen(x+y)\]

Esto significa que la derivada direccional en un punto siguiendo una dirección se puede obtener como el prodcuto escalar de la dirección por el gradiente en el punto considerado.

\[D_{u}f(0,0)=\nabla f(0,0).\vec{u}=3\sqrt[ ]{2}\]

Aca nose como se prosigue cuando dice que es máxima y en la direccion de la bisectriz del primer cuadrante.

Me cuesta entender la regla de la cadena y no hice el problema 1-b-II y el 5 podrias ayudarme