Buenas, tengo algunas dudas sobre como plantear el siguiente ejercicio:

Calcular el volumen limitado por el hiperboloide \[x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\] y los planos \[z=0\] y \[z=1\]

Si lo graficamos quedaría el hiperboloide de una hoja paralelo al eje z, delimitado por los planos z=0 y z=1.

Yo pensaba en plantearlo como el E2 del final del 2/12/2014, en donde ro varia respecto de z.

La idea quedaria algo asi:

\[V=\int_{\phi =0}^{\phi =2\pi } \int_{Z=0}^{Z=1} \int_{\rho=0}^{\rho=\sqrt{1+Z^{2}}} \rho d\rho dzd\phi = \frac{4}{3}\pi \]

Esta bien pensarlo de esta manera?

Otra alternativa que pense fue, proyectando en el plano xy y usando polares, hacer que z varie en funcion de ro:

\[V=\int_{\phi =0}^{\phi =2\pi } \int_{\rho=1}^{\rho=2}\int_{Z=0}^{Z=\sqrt{\rho^{2}-1}} \rho dzd\rho d\phi = 2\sqrt{3}\pi \]

Si alguien puede mirarlo a ver en que le pifie se agradece.

La primera esta bien , la segunda esta mal, la integral se divide en dos entonces el volumen estara dado

V= volumen del cilindrito + volumen de esa "especie de triangulo" que tiene como hipotenusa la curva que se proyecta sobre el zr , entonces

\[V=\pi R^2 h+\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{\sqrt{r^2-1}}^{1} rdzdrd\theta=\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4}{3}\pi\]