Resulta que estaba leyendo el 1er vol del libro de flax y en un ejercicio ( el de la imagen) no logro entenderlo.

Mas precisamente no entiendo la parte de derivación implícita ( U’x item 3). arma una nueva función G(x,y,u) y toma "x","y" como constante?

Cuando lo hace con "V" (en el item 4) es mas fácil por q esta despejada la "V"

por lo q veo es que me cambiaron las letras y se me hizo un choclo.

Si alguien me puede ayudar Gracias

PROBLEMA:

Creo que es así:
Al principio te dice que u = f(x,y) , y tenés como dato que \[ux+ye^u-x-1 = 0\], ahí f(x,y) está implícita, no podés despejarla. Entonces usas Cauchy-Dini, para esto lo expresas como una F(x,y,u)=0 (f(x,y) es la superficie de nivel 0 de un campo F(x,y,u)) , ya te lo dieron despejado y todo, así que es \[F(x,y,u)=ux+ye^u-x-1 = 0\]
El teorema dice que para calcular U'x tenés que hacer \[-\frac{F'x}{F'u}\], así con todas las derivadas que quieras sacar, para U'y sería \[-\frac{F'y}{F'u}\]

Entonces él hace F'x, que es derivando respecto x (todo lo que no es x se lo trata como constante)
\[F(x,y,u)=ux+ye^u-x-1 \]
\[F'x=u-1 \]

Después saca F'u de la misma manera
\[F'u=x+ye^u = 0\]

y hace \[-\frac{F'x}{F'u} = -\frac{u-1}{x+ye^u}\]

Haaaaaaaa osea que no estaba tan errado ajaja gracias sos una capa

el dibujo para la derivada, esta asi?