Buen muchachos recién estoy arrancando con am2, una ideita tengo, pero en este ejercicio, si alguno me da una mano con los limites de integración se los re agradezco (quizás es una boludez, pero hoy estoy tildado). Saludos


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Plano coordenado \[xy\]

\[3x^2+5y^2 \leq z \leq 4+x^2+y^2\]

\[x=r.cos \Theta\]
\[y=r.sen \Theta\]

\[3x^2+5y^2 = 4+x^2+y^2 \to 2x^2+4y^2 = 4 \to x^2+2y^2=2 \to \frac{x^2}{2}+y^2=1\] La intersección es una elipse con radio 1.

\[3r^2cos^2 \Theta+5r^2sen^2 \Theta \leq z \leq 4+r^2\]

\[0 \leq r \leq 1\]

\[0 \leq \Theta \leq 2 \pi\]

Acordate que al pasar a cilíndricas la integral triple la tenés que multiplicar por \[r\]

Saludos!

genial gracias, si me quedó claro, pasa que fui a lo de nachito y lo hacía de otra forma él, siempre que tengo ponele z>= a algo
y z<= a algo tengo que igualarlas?

El ejercicio te da como datos cuales son las superficies en donde está comprendido el eje \[z\] Si igualás ambas superficies obtenés la región a calcular su volúmen. Y para que te resulte más fácil el cálculo, utilizás coordenadas cilíndricas que es lo que hice al principio... igualás x e y a funciones trigonométricas (parametrización de una circunferencia, justamente). Y los límites a hallar son los de \[z\] (que son dato pero los pasás a coordenadas cilíndricas), los del radio \[r\] y los del ángulo \[ \Theta \] Si hay algún error avisá que corrijo.

Off-topic:

Yo estoy en la misma, tratando de ir sabiendo un poquito de cada cosa para después profundizar los temas... sobre todo los últimos 3 teoremas de integrales.

ta bienn, si tamos ahi en la misma, yo mi duda era el tema de sacar el radio, porque tenia entendido, que hay que proyectar al xy

Che pará no está del todo bien lo que hice...

Trabajás sobre el plano coordenado \[xy\]

\[3x^2+5y^2 \leq z \leq 4+x^2+y^2\]

\[3x^2+5y^2 = 4+x^2+y^2 \to 2x^2+4y^2 = 4 \to x^2+2y^2=2 \to \frac{x^2}{2}+y^2=1\] La intersección es una elipse con radio 1.

Y ahora sí, una vez que tenés la intersección usás coordenadas cilíndricas...

\[x=\sqrt {2}.r.cos \Theta\]
\[y=r.sen \Theta\]

\[6r^2cos^2 \Theta+5r^2sen^2 \Theta \leq z \leq 4+2r^2cos^2 \Theta+r^2sen^2 \Theta\]

\[0 \leq r \leq 1\]

\[0 \leq \Theta \leq 2 \pi\]

El uso de las coordenadas cilíndricas se plantea una vez que obtenés la intersección entre las dos superficies, antes lo plantee como si se tratáse de una circunferencia lo cual está mal porque como habrás visto es una elipse.

Saludos!


Y lo del plano coordenado, trabajás con el que te convenga... en este ejercicio es más cómodo el \[xy\]
No sé si me expliqué bien, una forma fácil de saber que plano coordenado utilizar es viendo qué límites te dan como dato. Si te dice que \[x\] está comprendido por dos superficies cualesquiera conviene trabajar con el plano \[yz\] Lo mismo si te dan los límites de \[y\], trabajás con \[xz\]

listo muchas gracias che!!!

Me emocioné con el ejercicio asi que lo termino acá... me trababa en más de la mitad de los ejercicios, pero gracias a éste que tiraste, ahora me siento Gauss (?)

\[Vol (W)= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{6r^2cos^2\Theta + 5r^2sen^2\Theta}^{4+2r^2cos^2\Theta + r^2sen^2\Theta} rdzd\Theta dr = \]

\[= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} r. (-6r^2cos^2\Theta - 5r^2sen^2\Theta + 4+2r^2cos^2\Theta + r^2sen^2\Theta) d \Theta dr= \]

\[= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} r. (-4r^2cos^2\Theta - 4r^2sen^2\Theta + 4) d \Theta dr = \]

\[= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} r.(4-4r^2) d \Theta dr = 2 \pi \int_{0}^{1} (4r-4r^3) dr = 2 \pi\]

Off-topic:

Tiene pinta de estar bien, pero me gustaría que alguien que tenga muy en claro el tema me diga si está bien o no para ver en que nivel estoy Jaja

(16-11-2011 15:57)EmiN escribió:  listo muchas gracias che!!!

Gracias a vos, terminé entendiendo yo también Jaja

Hola, unos detalles

(16-11-2011 14:39)matyary escribió:  Plano coordenado \[xy\]

\[3x^2+5y^2 \leq z \leq 4+x^2+y^2\]

\[{\color{red}x=r.cos \Theta}\]
\[{\color{red}ry=r.sen \Theta}\]

Nos piden el volumen en coordenadas cilindricas o sea tenemos que tomar

\[g(r,\theta,z)=(r\cos\theta, r\sin\theta,z)\]

como lo estas tomando noe s un cambio a coordenadas cilindricas, simplemente es la expresion general de la parametrizacion de una circunferencia, el que corrije te lo puede tomar como un regular en esa parte, toma en cuenta que estamos haciendo un cambio de coordenadas o sea debemos tener 3 parametros en nuestro cambio ¿entendes?

Cita:\[3x^2+5y^2 = 4+x^2+y^2 \to 2x^2+4y^2 = 4 \to x^2+2y^2=2 \to \frac{x^2}{2}+y^2=1\] La intersección es una elipse con radio 1.

La elipse no puede ser que tenga radio 1, si fuese de radio 1 es una circunferencia ademas si no me falla la memoria la formula general de una elipse, centrada en el origen, es

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

o sea en ningun momento nos dan que el radio valga 1, el mismo varia segun a y b, eso si no me falla la memoria

Cita:\[3r^2cos^2 \Theta+5r^2sen^2 \Theta \leq z \leq 4+r^2\]

esto esta bien ahora por transitividad esa condicion se cumple si y solo si

\[3r^2\cos^2 \theta+5r^2\sin^2 \theta \leq 4+r^2\]

operando convenientemente obtenemos el valor de nuestro radio

\[0\leq r \leq \frac{2}{\sqrt{3\cos^2\theta+5\sin^2\theta-1}}\]

no hay restricciones sobre \[\theta\] por lo que

\[0 \leq \theta \leq 2 \pi\]

finalmante

\[V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{3\cos^2\theta+5\sin^2\theta-1}}} \int_{3r^2cos^2\theta+5r^2\sin^2\theta}^{4+r^2}rdzdrd\theta=2\sqrt{2}\pi\]

no hice las cuentas pero me imagino que al operar de alguna manera se puede cancelar la raiz, podes verificar el resultado en el wolfram

ahora me voy para la facu, cuando vuelva lo veo con mas calma, si alguien mas desea aportar algo ...por ahi me equivoque, pero en lo personal lo entregaria asi como lo plantee, parece una

integral re re re complicada de resolver, por suerte estan las tablitas, en AM2 te permiten el uso de tablas asi que no se, lo veo luego, si hay error avisen por fa, no me gustaria estar mandando

fruta.

saludos

O sea que lo hice mal? Me dio \[2 \pi\]

Que mal que me veo...



Ahhh pero pará... citaste mi primer post, yo dije que la parametrización que hice estaba mal puesto que me basaba en la parametrización de una circunferencia y no en la de una elipse como es el caso. Otra duda que tengo acerca de tu resolución es porqué esos límetes del radio, yo simplemente digo que varía entre 0 y 1... 1 es el radio de la elipse.

PD.: La elipse si puede ser de radio 1.

\[ \frac{x^2}{( \sqrt {2})^2} + y^2 = 1 \]

Y eso si es del tipo de la ecuación de una elipse, si a eso te referías... porque en realidad la elipse de este ejercicio es de semiejes 1 y \[ \sqrt {2} \]




Ah es verdad, 1 no es el radio... You're right... la variable \[r\] tendría que variar entre 0 y 1 ó entre 0 y \[\sqrt {2}\] dependiendo desde donde lo estemos mirando.
\[r\] en este caso sería no el radio, sino los semiejes.

Y como dije antes va de:

0 a \[a\]
ó

0 a \[b\]

Empecemos por el principio.

El primer paso en este tipo de ejercicios es reconocer (geométricamente hablando) la región del espacio a integrar. En este caso, los límites de integración están expresados en coordenadas cartesianas ortogonales y responden a las siguientes superficies:

• Un paraboloide elíptico (de vértice coincidente con el origen): \[z_{1}: D_{z_{1}}\subset \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} /z_{1}(x,y)=3x^{2}+5y^{2}\]
  

• Un paraboloide de revolución (circular) desplazado 4 unidades respecto del origen, verticalmente: \[z_{2}: D_{z_{2}}\subset \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} /z_{2}(x,y)=4+x^{2}+y^{2}\]
  

La región en sí misma tiene forma de "tapita":


El enunciado del problema directamente ordena que se lo resuelva utilizando coordenadas cilíndricas, pero por la simetría del problema se puede deducir que es la elección más apropiada (la intersección entre las dos superficies es una elipse, y el recinto de integración entero está contenido dentro de un cilindro infinito de radio igual al semieje mayor de ésta):

\[x^2+y^2+4=3x^2+5y^2\Rightarrow \left (\frac{x}{\sqrt{2}} \right )^2+y^2=1\]

Para el pasaje a coordenadas cilíndricas se emplea el correspondiente automorfismo:

\[f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}^{3}/f(x,y,z)=(\rho \cos (\varphi ),\rho \sin (\varphi ),z)\]

La matriz jacobiana de la función inversa (que existe, dado que se trata de un isomorfismo, y además es diferenciable) resulta:

\[ J_{f^{-1}}=\begin{pmatrix} \cos(\varphi ) & -\rho\sin(\varphi ) & 0\\ \sin(\varphi ) & \rho\cos(\varphi ) & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

Y cuyo determinante resulta:

\[\left |J_{f^{-1}} \right |=\rho (\cos ^{2}(\varphi )+\sin ^{2}(\varphi ))=\rho \]

Finalmente:

\[\rho ^2(\sin ^2(\varphi )+\cos ^2(\varphi ))+4\geq z\geq 3\rho ^2\cos ^2(\varphi )+5\rho ^2\sin ^2(\varphi )\]
\[\Rightarrow \rho ^2+4\geq z\geq \rho ^2(3+2\sin ^2(\varphi ))\Rightarrow 0\leq \rho \leq \sqrt{\frac{2}{1+\sin ^2(\varphi)}}\]

\[V(W)=\oint_{W}dV=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{1+\sin ^2(\varphi)}}}\int_{\rho ^2(3+2\sin ^2(\varphi ))}^{\rho ^2+4}\rho d\rho d\varphi dz\]
\[V(W)=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{1+\sin ^2(\varphi)}}} \left [4\rho-2\rho^3(1+\sin ^2(\varphi )) \right ] d\rho d\varphi\]
\[V(W)=\int_{0}^{2\pi } \left [\frac{2}{1+\sin ^2(\varphi)}} \right ]d\varphi\]

Esta última integral se obtiene de tablas (el proceso de resolución implica una sustitución bastante complicada: Wolfram Alpha) y resulta:

\[V(W)=\frac{2}{\sqrt{2}}\left [ \arctan (\sqrt{2}\tan (\varphi )) \right ]_{0}^{2\pi }=2\sqrt{2}\pi \]

edite tus formulas que habian salido mal en latex asi queda mas clara tu explicación, y te arregle el enlace a wolfran que estaba dando error, espero no te moleste la edición

Una manera más sencilla de resolver la integral (pero que naturalmente no cumple con lo pedido en el enunciado del problema) consiste en tomar un automorfismo más apropiado al formato de la proyección ortogonal de la curva intersección entre las dos superficies límite (elipse de eje mayor igual a \[\sqrt{2}\] y eje menor unitario). Luego:

\[f: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3/f(x,y,z)=(\sqrt{2}u\cos (v),u\sin (v),z)\]

El determinante de la matriz jacobiana de la transformación inversa resulta:

\[\left |J_{f^-1} \right |=\sqrt{2}u\]

Finalmente, se puede reescribir la integral como:

\[V(W)=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\int_{u^2\left ( \cos ^2(v)+5 \right )}^{u^2\left ( \cos ^2(v)+1 \right )+4}\sqrt{2}ududvdz\]
\[V(W)=4\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}u\left (1-u^2 \right )dudv\]
\[V(W)=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }dv=2\sqrt{2}\pi \]

Ahí está, eso último intenté hacer yo... la única diferencia que encuentro es el \[\sqrt {2}\]

Claro que boludo, forma parte de la determinante de la matriz jacobiana... sería algo así como:

\[\begin{pmatrix} \sqrt {2}cos\phi & -r\sqrt{2} sen\phi & 0\\ \sin\phi & r cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= r \sqrt {2}cos^2\phi + r \sqrt {2}sen^2\phi + 0 = \sqrt {2} r\]

Así estaría bien no?

Después lo reeemplazo en la integral y llego al resultado...

Gracias!

Editado formulas en latex

(17-11-2011 09:30)matyary escribió:  Ahí está, eso último intenté hacer yo... la única diferencia que encuentro es el \[\sqrt {2}\]

Claro que boludo, forma parte de la determinante de la matriz jacobiana... sería algo así como:

\[\begin{pmatrix} \sqrt {2}cos\phi & -r\sqrt{2} sen\phi & 0\\ \sin\phi & r cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= r \sqrt {2}cos^2\phi + r \sqrt {2}sen^2\phi + 0 = \sqrt {2} r\]

Así estaría bien no?

Después lo reeemplazo en la integral y llego al resultado...

Gracias!

Editado formulas en latex

Exactamente, el único problema es que, en rigor, no se trata de coordenadas cilíndricas como pide el problema. El automorfismo que uno tiene que plantear, en forma paramétrica digamos, es:

\[\frac{x}{\sqrt{2}}=u\cos (v)\]
\[y=u\sin(v)\]
\[z=z\]

Para "u" constante, se tiene un conjunto de superficies cilíndricas rectas, pero de sección elíptica. El cálculo del determinante de la matriz jacobiana de la tranformación inversa, lo tenés que calcular para que se preserve la información sobre el volumen del recinto de integración al pasar de un sistema coordenado a otro (de ahí que aparezca la raíz de dos).

De cualquier manera y aunque para este ejercicio sea medio efímero, es interesante ver que por una simple elección de un sistema de coordenadas más apropiado, se puede evitar de tener que resolver una integral como:

\[V(W)=\int_{0}^{2\pi }\left [ \frac{1}{1+\sin ^2(x)} \right ]dx\]

Perfecto, entendí... lo que pide el problema es hacerlo por coordenadas cilíndricas, es decir parametrizar x e y en función de una circunferencia. Pero en este último método, lo que se hace es parametrizar en base a la elipse formada por la intersección de las superficies, lo que deja de ser coordenadas cilíndricas (por eso el uso de las constantes u y v).

Off-topic:

En los próximos días quizás suba un par de dudas puesto que rindo el viernes que viene Jaja

Muchas gracias!