Buenas noches compañeros. Nuevamente por aquí ....

Estoy haciendo unos parciales de AM II para prepararla para el parcial, así que una vez estén resueltos estos parciales los voy a subir para que los tengan.

Mi duda radica en el siguiente ejercicio:
   

Lo que hago primero es resolver la ecuación diferencial a través de reducción

y'' - y' = 2 -----> (0,1) y y'(0) = 2

w = y'
w' = y''

\[y'' - y' = 2\]

Reemplazando ...

\[w' - w = 2\]

\[\int \frac{1}{2+w} dw = \int dx\]

\[ln (2+w) = x + C\]

\[2+w = e^{x+c}\]

\[w = e^{x+c}-2\]

\[w = e^{x}*e^{c}{}-2\]

\[w = e^{x}*k-2\]

Evaluando con los datos dados (y'(0) = 2)

\[w = ke^{x} - 2\]

\[2 = ke^{0} - 2\]

\[k = 4\]

Queda ....

\[w = 4e^{x}-2\]

Reemplazando (w = y')

\[y' = 4e^{x}-2\]

\[\int dy = \int 4e^{x}-2\]

\[y = 4e^{x}-2x + c \]

Aplicando condiciones iniciales ....

\[1 = 4e^{0} - 2*0 + c\]

\[c = -3\]

Hasta acá es correcto?

Por otro lado, ahora hay que parametrizar para obtener la curva C que pertenece a la superficie ....
Acá tengo muchas dudas y seguramente esté errado

\[x = t\]

\[y = 4e^{x} - 2x - 3\]

\[z = ??\]

Obtengo el valor de T usando el punto (0,1)

t = 1

Reemplazando X e Y en la ecuación de la superficie obtengo Z

Z = (-1)

Finalmente, me queda la curva parametrizada ...

\[C = (t,4^{t}-2t-3,-1)\]

Derivo la curva parametrizada para obtener el vector tangente ....

\[C't = (1,4e^{t}-2,0)\]

Aplico T = 0

\[C't = (1,2,0)\] (componentes del plano normal a C en el punto)



Compañeros, es esta resolución correcta? Tengo muchas dudas con el tema de parametrizaciones. Por otro lado, dudo que la resolución de la ecuación diferencial sea correcta.

Muchas gracias!!

(13-08-2014 23:18)bareel escribió:  Buenas noches compañeros. Nuevamente por aquí ....

Estoy haciendo unos parciales de AM II para prepararla para el parcial, así que una vez estén resueltos estos parciales los voy a subir para que los tengan.

Mi duda radica en el siguiente ejercicio:


Lo que hago primero es resolver la ecuación diferencial a través de reducción

y'' - y' = 2 -----> (0,1) y y'(0) = 2

w = y'
w' = y''

\[y'' - y' = 2\]

Reemplazando ...

\[w' - w = 2\]

\[\int \frac{1}{2+w} dw = \int dx\]

\[ln (2+w) = x + C\]

\[2+w = e^{x+c}\]

\[w = e^{x+c}-2\]

\[w = e^{x}*e^{c}{}-2\]

\[w = e^{x}*k-2\]

Evaluando con los datos dados (y'(0) = 2)

\[w = ke^{x} - 2\]

\[2 = ke^{0} - 2\]

\[k = 4\]

Queda ....

\[w = 4e^{x}-2\]

Reemplazando (w = y')

\[y' = 4e^{x}-2\]

\[\int dy = \int 4e^{x}-2\]

\[y = 4e^{x}-2x + c \]

Aplicando condiciones iniciales ....

\[1 = 4e^{0} - 2*0 + c\]

\[c = -3\]

Hasta acá es correcto?

perfecto, la proyeccion es

\[y=4e^x-2x-3\]

luego la curva en el espacio parametrizada , escrita de forma vectorial es

\[C:R\to R^3/C(x)=(x,4e^x-2x-3,{x^2-2(4e^x-2x-3)+1})\]

de donde

\[C:R\to R^3/C(x)=(x,4e^x-2x-3,x^2-8e^x+4x+7)\]

sabes que el punto por donde pasa el plano normal pertenece a la curva entonces , reemplazando el (0,1) en \[z=x^2-2y+1\] obtenes que \[P=(0,1,-1)\]

de donde para saber que valor toma el parametro x

\[C(x)=P\to x=0\]

creo que de ahi ya podes continuar

Cita:Acá tengo muchas dudas y seguramente esté errado

\[\\x = t\\y = 4e^{x} - 2x - 3\\z = ??\]

el z es

\[z=x^2-2y+1\]

solo reemplaza el y por la ecuacion que obtuviste al resolver la ecuacion diferencial, es lo que hice arriba

Si queres para practicar y me creas lo que te digo , como la guia de tps tiene los resultados, fijate el ejercicio 14 del tp6, funciones compuestas , es muy parecido a este

Muchas gracias Saga!! Tenés idea si estos parciales ya están en el foro?
Si no, puedo subir la resolución.

Yo no los ví, solo ví ejercicios sueltos de parciales, si podes subir parciales resueltos sería copado de tu parte, así les puede servir a otros compañeros también