Buenas
Estoy con un ejercicio del TP 5 al que no puedo llegar.
Dice:
Siendo \[f(x, y) = (x^3 - xy^2)/(x^2 + y^2)\] si \[(x, y) \neq (0,0)\] y \[f(0,0) = 0\], demuestre que f es continua y derivable en toda dirección en (0,0) pero NO es diferenciable en (0,0).

Llegué a probar que es contínua, y al calcular \[f'((0,0),\breve{u})\] me dio \[= u^3 - uv^2\]
Pensé que para probar que no es diferenciable podía ver si \[f'((0,0),\breve{u}) \neq \triangledown \bartriangledown f(0,0)*\check{u}\], pero no estoy encontrando la forma de probarlo. La guía justo dice que pasa eso para decir que no es diferenciable.
El gradiente me dio (1, 0).
Capaz alguno sabe como orientarme para llegar a terminarlo.
Saludos!

Una vez que tenés las derivadas parciales \[ f_x(0,0)=1 \wedge f_y(0,0)=0 \], podés plantear el límite por definición \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-(f_x(0,0),f_y(0,0)) \cdot (x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}-x}{\sqrt{x^2+y^2}} \] y probar que no existe. Acomodándolo y probando con rectas, sale.
Quizá haya una forma más simple de hacerlo, pero no la recuerdo. Preguntá si te trabás con el límite.

Estimado,

Al hacer la derivada direccional de f((0,0);(u,v)), nos dá que el límite cuando h tiene a 0, es u^3-u*v^2, con raíz de u^2+v^2=1.

Una vez planteado esto, comprobaremos si el gradiente de f en (0,0) multiplicado por el versor nos da lo mismo:
f'x por definición nos queda como límite con h tendiendo a 0 de h^3/h^3 = 1
f'y por definición nos queda como límite con h tendiendo a 0 de 0/h^3 = 0

Al armar el gradiente de f por el versor, nos queda (1,0)*(u,v) = u

Y como u no es igual a u^3-u*v^2, f no es diferenciable.

Espero haberte ayudado.

Edito: fijate que en la respuesta sugiere que sigas estos pasos.

(04-07-2015 21:51)Rampa escribió:  Una vez que tenés las derivadas parciales \[ f_x(0,0)=1 \wedge f_y(0,0)=0 \], podés plantear el límite por definición \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)-(f_x(0,0),f_y(0,0)) \cdot (x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}-x}{\sqrt{x^2+y^2}} \] y probar que no existe. Acomodándolo y probando con rectas, sale.
Quizá haya una forma más simple de hacerlo, pero no la recuerdo. Preguntá si te trabás con el límite.

Por un momento pensé en hacerlo así, pero como en clase siempre evitamos usar la definición no estaba seguro de como terminar poniendo T(H). Ahora se entiende bien.

(04-07-2015 22:37)Yair escribió:  Estimado,

Al hacer la derivada direccional de f((0,0);(u,v)), nos dá que el límite cuando h tiene a 0, es u^3-u*v^2, con raíz de u^2+v^2=1.

Una vez planteado esto, comprobaremos si el gradiente de f en (0,0) multiplicado por el versor nos da lo mismo:
f'x por definición nos queda como límite con h tendiendo a 0 de h^3/h^3 = 1
f'y por definición nos queda como límite con h tendiendo a 0 de 0/h^3 = 0

Al armar el gradiente de f por el versor, nos queda (1,0)*(u,v) = u

Y como u no es igual a u^3-u*v^2, f no es diferenciable.

Espero haberte ayudado.

Edito: fijate que en la respuesta sugiere que sigas estos pasos.

Uh, yo había llegado a eso pero lo terminé tachando porque no sabía si era una respuesta válida. Cosas que pasan



Muchas gracias a los dos!

El profe nos recomienda usar la definición siempre en puntos conflictivos, donde una función es partida, tiene saltos, problemas de continuidad, etc.
Si es un punto interior y regular, verifica la regla de la cadena, gradiente por un versor, etc. Pero por definición sale todo y es seguro.

Saludos.