Hola Gente! Subo el final que tomaron de Analisis I el 30/07.
Me fue mal, pero la próxima sera.

Saludos!

https://drive.google.com/file/d/0B1w9BR9...sp=sharing

para mi fue dificil, aprobe no se como.

Yo aprobe de suerte (3er intento). Fue largo, y me cago la vida que agregaran los datos en el 4 que ya lo tenia hecho y me termino quedando mal despues. Lo que tuve mal fueron los errores en el 2 y el 5 ademas. A estudiar AMII para rendir a fin de año ahora.

En el aula en la que estuve, nos dijeron que en el ejercicio 4) f ' (0) = 1 y f ''(0) = 1, a ustedes les dijeron otra cosa?

¿Alguien sabe cómo se hace El 2b) y 5b) ?

1a) VERDADERO
g(0)=0, El limite también da 0 por ser infinitésimo por acotada

1b) La suma de la Serie: \[S=\lim_{n \to \infty} Sn\]

Aplicando límite en todos los miembro, si da lo mismo tanto en la izquierda como en la derecha se puede aplicar T.I: Teorema de Intercalación (Sandwich)

\[\lim_{n \to \infty}\frac{2n^3+1}{4n^3-1}+\frac{1}{2}\leq \lim_{n \to \infty} Sn\leq \lim_{n \to \infty}(\frac{ (n^2+3}{n^2+1})^{n}\]


En la izquierda: Cociente de polinomios del mismo grado, el Límite da el cociente entre los coeficientes principales + 1/2
En la derecha tenemos \[(\rightarrow 1)^{(\rightarrow\infty)} \], que hay que llevarlo a la forma del límite e:

..........................................\[\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e\]


IZQUIERDA: \[\lim_{n \to \infty}\frac{2n^3+1}{4n^3-1}+\frac{1}{2}=>\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=1\]



DERECHA: \[\lim_{n \to \infty}(\frac{n^2+3}{n^2+1})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(\frac{(n^2+1)+3-1}{n^2+1})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{2}{n^2+1})^{n}\]


\[=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{n}=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{n*\frac{n^2+1}{2}*\frac{2}{n^2+1}}\]


\[=>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{\frac{n^2+1}{2}})^{\frac{n^2+1}{2}^{\frac{2n}{n^2+1}}}\]


\[=>e^{\lim_{n \to \infty \frac{2n}{n^2+1}}}=> e^0=1\]




Entonces
\[1\leq \lim_{n \to \infty} Sn\leq 1\]


Por lo tanto

\[S= \lim_{n \to \infty} Sn=1\]

La serie es Convergente, Su suma da 1 y como es convergente, cumple la condición necesaria:

\[\lim_{n \to \infty} an=0\]


Entonces FALSO


2a)

Aproximación Lineal, o Polinomio de Taylor de 1er Grado

\[f(x)=f(xo)+f'(xo)(x-xo)\]

En este caso la función que se quiere aproximar es:

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}\]

alrededor de 8, xo=8

\[f(8)=\sqrt[3]{8^2}=4\]

\[f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}} => f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\]

\[f'(8)=\frac{2}{3}8^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}*\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{3}\]

La ecuación de la aproximacion lineal queda:

\[f(x)= 4+\frac{1}{3}(x-8)\]

Entonces el valor aproximado es

\[f(8,2)\approx 4+\frac{1}{3}(8,2-8)\approx 4+\frac{1}{3}0,2\approx 4,066666\]

Que es bastante cercano al de la calculadora: 4,066391931

El diferencial de una función mide cuánto se incrementa la ordenada de la recta tangente de una función, al pasar del punto de tangencia a otro cercano

En el gráfico sería la altura del triángulo que se forma marcando el punto (xo,f(xo)) y (xo+deltax,f(xo*+deltax) sobre la recta tangente

tg(alfa)= Altura/base

La tangente del angulo es la pendiente, que es la derivada
dy=f'(x).dx

3a) \[Df= R\] ,

ASINTOTAS

No hay A.V, porque no hay problemas con el Dominio.

A.H

\[\lim_{x \to \infty} x*e^{-x^2}\]

Vale tanto para \[+\infty\] como para \[-\infty\] por el elevado al cuadrado.

\[\lim_{x \to \infty} \frac {x}{e^{x^2}}=>\frac {\rightarrow \infty}{\rightarrow\infty}\] , Se puede aplicar L'Hopital

\[\lim_{x \to \infty} \frac {1}{e^{x^2}*2x}=>L=0\]


A.H para \[+\infty\] y \[-\infty\]: y=0.

al Haber A.H no hay A.O


EXTREMOS

\[{f}'(x)= e^{-x^2}+x*e^{-x^2}*(-2x)\]

\[{f}'(x)= e^{-x^2}(1-2x^2)\]

\[{f}'(x)=0\]

\[e^{-x^2}(1-2x^2)=0\]

\[1-2x^2=0\]

\[|x|=\sqrt\frac{1}{2}\]


\[x=\sqrt\frac{1}{2}\vee x=-\sqrt\frac{1}{2}\]

Para ver si son máximos o mínimos conviene el criterio de la derivada primera...

donde f'(x)>0 f crece, f'<0 f decrece

\[{f}'(x)= e^{-x^2}(1-2x^2)>0\]

\[e^{-x^2}>0\] siempre positivo

\[1-2x^2>0\]

\[-2x^2>-1\]

\[x^2<\frac{-1}{-2}\] ,OJO que invierte desigualdad


\[|x|<\frac{\sqrt2}{2}\]

Entonces intervalo donde f crece: \[(-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2})\]

y f decrece en: \[(-\infty,-\frac{\sqrt2}{2})\cup (\frac{\sqrt2}{2},+\infty)\]


Por lo tanto
como por izquierda de \[-\frac{\sqrt2}{2}\] venia decreciendo y luego empezó a crecer

\[x=-\frac{\sqrt2}{2}\] es un mínimo

Mismo análisis y se llega a que \[x=\frac{\sqrt2}{2}\] es un Máximo

INFLEXION

\[f''(x)=0\]

\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*(1-2x^2)+e^{-x^2}*(-4x)\]

puedo sacar factor comun \[-2x.e^{-x^2}\]

\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*((1-2x^2)+2)\]

\[f''(x)= e^{-x^2}(-2x)*(-2x^2+3)\]


entonces, igualando a 0 para sacar los valores:

\[e^{-x^2}(-2x)*(-2x^2+3)=0\]


\[-2x=0\]
\[x=0\]


\[-2x^2+3=0\]

\[x^2=\frac{-3}{-2}\]

\[|x|=\sqrt\frac{3}{2}\]


\[x=0 \vee x=\sqrt\frac{3}{2} \vee x=-\sqrt\frac{3}{2}\]

Y comprobarías que son puntos de inflexión o no evaluandolos en la derivada 3ra y que de distinto de 0, o viendo si cambia o no el signo de la derivada segunda

el gráfico en wolphram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=inf...%5E2%29%29


4)

\[F(0)= \int_{0}^{2*0^2+5*0}e^{f(t)}dt=\int_{0}^{0}e^{f(t)}dt=0\]

=>F(0)=0

\[F'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{0}^{2x^2+5x} e^{f(t)}dt=> F'(x)= e^{2x^2+5x}*(4x+5)\]



\[F'(0)= e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)=e^0*5=5\]

=>F'(0)=5



\[F''(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}*(4x+5)]\]

=>\[F''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)*(4x+5)+e^{2x^2+5x}*4=e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]\]

\[F''(0)= e^{2*0^2+5*0}((4*0+5)^2+4)=e^0*(5^2+4)=29\]

=> F''(0)=29


\[F'''(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]]=e^{2x^2+5x}(4x+5)*[(4x+5)^2+4]+e^{2x^2+5x}[2(4x+5)*4]\]

\[F'''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)[[(4x+5)^2+4]+8(4x+5)]\]



\[F'''(0)=e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)[[(4*0+5)^2+4]+8(4*0+5)]=1(5)[[(5)^2+4]+8(5)]= 5[29]+40=145+40=185\]

=> F'''(0)=185

El polinomio de Taylor en x=0 de grado 3 de F(x) sería:

\[T(x)=F(0)+F'(x)x+\frac{F''(x)}{2!}x^2+\frac{F'''(x)}{3!}x^3\]

\[T(x)=0+5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\]

\[T(x)=5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\] FIN.


5a)


\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{x^n}{(n+1)2^n}}|=>\lim_{n \to \infty}|\frac{\sqrt[n]{x^n}}{\sqrt[n]{(n+1)}*\sqrt[n]{2^n}}|<1=>\]

\[=>\lim_{n \to \infty} |\frac{x}{\sqrt[n]{n+1}*2}|<1=>|\frac{x}{1*2}|<1=>|x|<2=>-2<x<2\]

hasta el momento sabemos que en el intervalo de convergencia sería (-2,2)
faltan evaluar los extremos, no hace falta evaluar los dos extremos, ya que solo piden que demostremos que es CV en el extremo inferior

o sea en x=-2.

Nos pide demostrar. ES CV, no les puede dar que no es

vamos a hacerlo.

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{(n+1)*2^n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\frac{-2}{2})^n}{(n+1)}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)}\]

Tenemos una serie alternada, hay que ver si se cumple Leibniz

i)\[\lim_{n \to \infty } an =0\]

ii) terminos decrecientes.... \[a_{n+1}<a_{n} \] o lo que es lo mismo \[a_{n-1}>a_{n} \]


\[i) \lim_{n \to \infty } \frac{1}{(n+1)}=0\]


\[ii) n<n+1\]

damos vuelta, y se invierte la desigualdad
\[\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}\]

y llegamos a: \[a_{n-1}> an\]

Se cumple i) y ii) Entonces CV para x=-2, -2 pertenece al intervalo de convergencia. DEMOSTRADO

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(31-07-2015 11:11)Damianx escribió:  En el aula en la que estuve, nos dijeron que en el ejercicio 4) f ' (0) = 1 y f ''(0) = 1, a ustedes les dijeron otra cosa?

En el de él lo mismo si , si miras la imagen

lo subo al foro directamente para no tenerlo en servidores externos , gracias por el aporte

   

ALGUNO save como hacer el 2 ??

la parte a unicamente hice, tenes que usar la formula de aproximacion lineal
primero identificas la funcion, en este caso x^(2/3), buscas un valor de x para el cual sepas el resultado, osea 8, sacas la variacion de x que es 8,2 - 8.
ahora derivas la funcion y resolves esta ecuacion:
Xo = 8
variacion = 0,2;
f(Xo + variacion) = f '(Xo)*variacion + f(Xo).
te da algo de 4,066

el grafico no se si esta bien, lo que hice yo fue graficar la funcion, la recta tangente en 8 y marcar la separacion entre la funcion en 8,2 y la recta tangente en 8.

(31-07-2015 08:47)rockstiff escribió:  Yo aprobe de suerte (3er intento). Fue largo, y me cago la vida que agregaran los datos en el 4 que ya lo tenia hecho y me termino quedando mal despues. Lo que tuve mal fueron los errores en el 2 y el 5 ademas. A estudiar AMII para rendir a fin de año ahora.

Si, ese ejercicio me jodió la vida, me paso lo mismo que a vos. Termine haciendo 2 puntos bien y me falto medio punto para aprobar... Mala suerte...

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(31-07-2015 11:53)Saga escribió:  lo subo al foro directamente para no tenerlo en servidores externos , gracias por el aporte

De nada! Lo voy a tener en cuenta para futuros aportes.

(31-07-2015 11:12)viktorxD escribió:  4)

\[F(0)= \int_{0}^{2*0^2+5*0}e^{f(t)}dt=\int_{0}^{0}e^{f(t)}dt=0\]

=>F(0)=0

\[F'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \int_{0}^{2x^2+5x} e^{f(t)}dt=> F'(x)= e^{2x^2+5x}*(4x+5)\]



\[F'(0)= e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)=e^0*5=5\]

=>F'(0)=5



\[F''(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}F'(x)= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}*(4x+5)]\]

=>\[F''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)*(4x+5)+e^{2x^2+5x}*4=e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]\]

\[F''(0)= e^{2*0^2+5*0}((4*0+5)^2+4)=e^0*(5^2+4)=29\]

=> F''(0)=29


\[F'''(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[e^{2x^2+5x}[(4x+5)^2+4]]=e^{2x^2+5x}(4x+5)*[(4x+5)^2+4]+e^{2x^2+5x}[2(4x+5)*4]\]

\[F'''(x)=e^{2x^2+5x}(4x+5)[[(4x+5)^2+4]+8(4x+5)]\]



\[F'''(0)=e^{2*0^2+5*0}(4*0+5)[[(4*0+5)^2+4]+8(4*0+5)]=1(5)[[(5)^2+4]+8(5)]= 5[29]+40=145+40=185\]

=> F'''(0)=185

El polinomio de Taylor en x=0 de grado 3 de F(x) sería:

\[T(x)=F(0)+F'(x)x+\frac{F''(x)}{2!}x^2+\frac{F'''(x)}{3!}x^3\]

\[T(x)=0+5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\]

\[T(x)=5x+\frac{29}{2}x^2+\frac{185}{6}x^3\] FIN.

Cuando hiciste las derivadas, en que momento usaste los datos que te dan de f(0)=0, etc ?

Respecto al 4a) cuando pasas de F'(x) a F''(x) hay algo queme hace ruido, elevado a la e esta F(2x^2+5x) y no solo 2x^2+5x:

\[F'(x)= e^{F(2x^2+5x)}*(4x+5)\]

entonces al derivar deberia ser:

\[F''(x)=e^{F(2x^2+5x)}*F'(2x^2+5x)*(4x+5)*(4x+5)+e^{F(2x^2+5x)}*4\]

ahi utilizas el f'(0) = 0 que te dan como dato y finalmente F''(0) = 4, lo mismo cuando calculas F'''(0) que (si hice bien los cálculos) da 125 (ahí aparece el f''(0)

Saludos

Alguien que me ayude con el 5)b)? Gracias.

creo que la estimación de error es como la de taylor |(-2)^100*1/(101.2^100)| = 0,0099.

No estoy seguro, porque no ví ningún ejercicio así, pero yo pondría eso.

Saludos.

En el que pide el error, se hace como el de taylor.
Te confunde el grado 2 que pusieron porque siempre te piden el error a secas, pero si se fijan, la aprox se hace con taylor hasta grado 1. y El error se hace con (n mas 1) que seria 2 solo esta para confundir.

El de la serie yo hice error= Sn - S100
y tome el valor absoluto.