Tengo un ejercicio que por mas que lo intente no puedo llegar a un resultado coherente y siempre me da cualquier cosa. Es el siguiente:
Dadas:





Demostrar que son perpendiculares en el origen.
Pense en derivarlas y demotrar que la tangente y la normal son iguales pero no llego a nada.
Si alguien tiene una idea se lo agradeceria( al menos como deberian quedar las derivadas).

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La segunda formula era:

Ahora que lo cambiaste sale
No necesitás sacar las rectas, basta con las pendientes, llamemos y a la primera función y g a la segunda para no confundirlas, son perpendiculares en un punto si en ese punto: \[y' = -\frac{1}{g'}\]

Lo que tenés que hacer es derivar las dos y despejar y' y g'

\[4y^3-x^2y-x+5y=012y^2{y}' - 2xy - x^2{y}' -1 + 5{y}' = 0{y}'(12y^2 - x^2 +5)-1 -2xy= 0{y}' = \frac{2xy+1}{12y^2-x^2+5}\]

y' en el origen (Reemplazando x e y por 0) te da \[\frac{1}{5}\]

Ahora sacamos la otra, tiene que dar \[-\frac{1}{\frac{1}{5}}=-5\]

\[x^4-4g^3+5x+g=03x^3-12g^2{g}'+5+{g}'=0{g}' = \frac{3x^3+5}{12g^2-1}\]

Reemplazando nos da \[\frac{5}{-1}=-5\], por lo tanto son perpendiculares en el origen.

Uhh mas claro imposible, te agradezco muchisimo, Yo lo que hacia era empezar a igualar las ecuaciones y me daba cualquier cosa, la clave era reemplazar por P(0,0) y verificar la pendiente. Muchisimas gracias Anirus.

Otra cosa que hay que verificar antes es que ambas funciones pasen por el punto, si te da que alguna de las dos no pasa no tenés que hacer lo de las pendientes ya que no intersectan.