Hola, les hago una consulta porque miro y miro el ejercicio y no me cierra, el ejercicio dice asi:

Indique si
\[L: (x,y,z)= (1,0,-1) + \lambda (2,3,4), \lambda \in R , corta a 2x - 2y + 3z + 1=0\]

En caso afirmativo, halle el punto de interseccion.

Hice lo siguiente, pase la Ec Param. Vectorail a la Ec Parametrica Cartesiana y reemplaze en la ecuacion del plano.

\[\\x:1 + 2 \lambda\\y: 3\lambda\\z: -1 + 4 \lambda\\2x - 2y + 3z + 1=0\]

\[2 (1 + 2\lambda) - 2 (3\lambda) + 3 (-1 + 4\lambda) + 1=0\] y llego a que \[10\lambda=0\]

Y aca esta mi problema como tiene infinita soluciones no solo es paralela sino que esta incluida, osea no lo corta, pero en los resultados de la guia me dice que la respuesta es que:

P= (1,0,-1).

Por eso no entiendo, si me equivoco diganmelo porfa!!!! MIL GRACIAS!!!

PD: Si algo no se entiende lo trato de poner mas claroo!!!

La recta no es paralela al plano. Para que esto pase, el vector director de la recta y el vector normal del plano, deben ser perpendiculares, por ende, el producto escalar tiene que ser igual a cero. Además tampoco esta incluída (el punto (1,0,-1) debería verificar en la ecuación del plano para que esté incluída y no se cumple la igualdad).

De todas formas, lo que hiciste esta bien. Fijate que si reemplazás el lambda=0 en la ecuación paramétrica cartesiana de la recta te da el punto (1,0,-1) que es la respuesta correcta.