El ejercicio es el siguiente dada la matriz A=\[\bigl(\begin{smallmatrix} 5& a & 2 & \\ 4& b & 2 & \\ 2& c & 2 & \end{smallmatrix}\bigr)\]

a) Encuentre los valores reales de a, b, c de modo que (2,2,1) es autovalor asociado al autovalor \[\lambda \]=10
b) Para los valores hallados en a) se cumple que \[\lambda \]=1 es raíz doble de la ecuación caraterística; halle, si existe, una base que diagonalize A.

a) aca lo q hice fue multiplicar la matriz por el vector \[\begin{pmatrix}\\ 2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\] = al mismo vector multiplicado por 10 (el autovalor)

entonces me quedo:
10+2a+2=20
8+2b+2=20
4+2c+2=10

a=-4, b=-5,c=-2

b) al hacer (A-\[\lambda \]) con los valores de a, b y c y reemplazando \lambda=10 obtuve -8y=0 y 4x-4y+2z=0 luego de hacer gauss lo q me da despejando x=y\[\frac{-1}{2}\]z
x=-\[\frac{1}{2}\]z

(x,y,z)= z (\[\frac{-1}{2}\],0,1)

\[S_{1}= gen\]{(\[\frac{-1}{2}\],0,1)}

ahora lo que no se es como diagonalizarlo xq no se si usar o no el auto valor 10 si alguien me peude ayudar se agradece

no revisé las cuentas del punto b, pero chequeá que estén bien. para que la matriz sea diagonalizable, necesitas una base que va a estar formada por cada uno de los autovectores, y la matriz diagonal en esa base serian los autovalores puestos en una diagonal.
si lambda=1 es doble , y lamba=10 es simple, para que exista la base que te pide el enunciado, lamba=1 tiene que formar un subespacio de dos dimensiones, justamente porque es doble. si se cumple, entonces esa base existe, y va a formarse por tres vectores l.i.: los dos vectores de lambda=1 y el vector de lambda=10