Ayuda!!
por favor..
me explicaria alguien como resolver este ejercico

1)Para definir la transformacion lineal, se conoce que {a=(1,-1,1)}, es una base para el núcleo y que para el autovalor -2, la base de los autovectores esta dada por B={v1=(0,1,1), v2=(1,1,0)}
a) Hallar la transformacion lineal
b) cuales son las dimenciones de los subespacios nucleo e imagen. Justifique su respuesta

Todo lo que ponga aca leelo a modo potencial. Hace tiempo que la curse, así que no tengo super fresco los temas. Si alguno ve algún error,por favor corrija!!

Teorema de la dimensión: Decía(notese el poco formalismo) algo como que la dimensión del nucleo más la dimensión de la imagen es igual a la dimensión del dominio(el conjunto de origen)

No se como lo ven en tu curso, pero una transformación lineal se puede definir con la matriz, o dando la transformación de una base del dominio.

Si no recuerdo mal, si k es autovalor del autovector v, entonces f(v)=kv


De aqui en más, f es la transformación que te piden en el ejercicio.

Se conoce que {a=(1,-1,1)}, es una base para el núcleo.

f(1,-1,1)=0 (podias haber elegido cualquier vector que perteneciera a la base nucleo)

el autovalor -2, la base de los autovectores esta dada por B={v1=(0,1,1), v2=(1,1,0)}

f(0,1,1)=2*(0,1,1)=(0,2,2)
f(1,1,0)=2*(1,1,0)=(2,2,0)

Tenes la TL definida sobre una base. Seguramente, tengas interes en transformar otros elementos vector. Tenes dos opciones: a) Construis la matriz

b) Medio dificil de explicar en español, pero creo que vas a entender. Sea {a,b,c} un base de R3. Sea T una TL.
T(a)=x
T(b)=y
T(c)=z

Vos queres hallar el transformado de un vector v. Lo podes escribir como combinacion lineal i*a+j*b+k*c. (recorda que a,b,c son vectores, mientras que i,j,k son los escalares o coeficientes de la combinacion lineal
Ahora transformamos v.

T(v)=T(i*a+j*b+k*c)=T(i*a)+T(j*b)+T(k*c)=i*T(a)+j*T(b)+k T©=i*x+j*y+k*z (usando la def de TL)

Trate de ponerle color, pero creo q me volveria loco haciendolo. El punto b sale con el teorema de la dimensión que puse al principio.

Suerte, y espero no haber chingado en nada

Muchas, gracias, era maso lo que yo creía... pero con maso no hacia nada..