Gente, preciso ayuda con un ejercicio que tomaron en el final del martes pasado (lo cual me demuestra que venía estudiando mal porque cambió mucho lo que venían tomando) y la verdad que no sé operar con espacios vectoriales cuando están definidos como polinomios =P pero la duda es la siguente:

Sea T: P2->R^3/T(a+bx+cx^2)=(2a-c,-b,a-3c) Hallar la matriz asociada en bases B1B2 y B1 es la canónica de P2={1,x,x^2) y B2={(1,-1,1);(1,-1,0);(0,1,0)}.

Sé qué es lo que tengo que hacer pero como dije, no sé cómo operar y por ende no sé cómo sacar las imágenes de la transformación para después poder expresarlas como combinación lineal de B2 y que me quede la matriz.

Gracias desde ya.

Hola, supongo que el ejercicio es este

\[T: P^2\longrightarrow{R^3}/T(a+bx+cx^2)=(2a-c,-b,a-3c)\] con las bases

\[B_1=(1,x,x^2) \quad B_2=\left\{(1,-1,1)(1,-1,0)(0,1,0)\}\]

ambas L.I sino no tiene sentido el ejercicio, recorda que la base canónica de un polinomio de grado 2 es :

\[B_1=\left{(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)\}\]

como te dan la expresión análitica es más sencillo el ejercicio, por definición:

\[M(T)_{B1,B2}=( (T(1,0,0)_{B2})^t\quad (T(0,1,0)_{B2})^t\quad (T(0,0,1)_{B2})^t\]

por definición de la expresión análitica tenés que

\[T(1,0,0)=(2,0,1)\\T(0,1,0)=(0,-1,0)\\T(0,0,1)=(-1,0,-3)\]

ahora necesitas la matriz en B2 entoncés solo haces la combinación lineal de los vectores de base con los obtenidos con la expresión analítica es decir

\[(2,0,1)=\alpha_1(1,-1,1)+\alpha_2(1,-1,0)+\alpha_3(0,1,0)\\(0,-1,0)=\alpha_1(1,-1,1)+\alpha_2(1,-1,0)+\alpha_3(0,1,0)\\(-1,0,-3)=\alpha_1(1,-1,1)+\alpha_2(1,-1,0)+\alpha_3(0,1,0)\]

te queda un sistema de ecuaciones que créo no tendrás problema en resolver, recorda que en las columnas de M(t) estan las coordenadas de la imágen de los vectores que obtuviste con la expresión analítica.

salu2

no es (2,0,-1) ?

Retomando lo que dijo el amigo aleonsr:
La TL es \[T: P2->R^3/T(a+bx+cx^2)=(2a-c,-b,a-3c)\]
Tenés que la base B1 es \[B1=(1,x,x^2)\] como son vectores en p2 también los podes ver como ternas en R3 para operar más fácil,pero NUNCA te olvides de que en realidad son polinomios.O sea,nos quedan los vectores \[B1={(1,0,0),(0,x,0),(0,0,x^2)}\] y en lo otra base \[B2={(1,-1,1);(1,-1,0);(0,1,0)}\].
Para encontrar la matriz en relación a esas dos bases lo que tenés que hacer es expresar los transformados de los vectores de la base de partidacomo combinación lineal de los elementos de la base del conjunto de llegada.

Entonces,nos queda que los transformados de los vectores dan

\[T(1+0X+0X^2)=(2,0,1)={\bf 1}*(1,-1,1)+{\bf 1}*(1,-1,0)+{\bf 2}*(0,1,0)T(0+X+0X^2)=(0,-1,0)= {\bf 0}*(1,-1,1)+{\bf 0}*(1,-1,0)+({\bf -1})*(0,1,0)T(0+0X+X^2)=(-1,0,-3)=({\bf -3})*(1,-1,1)+{\bf 2}*(1,-1,0)+({\bf -1})*(0,1,0)\]

Fijate que lo que resalte en negro son los coeficientes que resultan de la combinación lineal de los transformado de los vectores dados.
Ahora,cada transformado tiene sus coeficientes que pasan a ser una columna.Así,la primera columna (columna y no fila,guarda con eso) es {1,1,2},la segunda es {0,0,-1} y la tercera es {3,2,-1}.La matriz te quedaría así:

\[M(t)b1b2=\[ \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\1 & 0 & 2 \\2 & -1 & -1 \end{array} \right)\] \]

Espero que te haya servido.Saludos!

Hola

(28-07-2010 10:42)Locu05 escribió:  no es (2,0,-1) ?

nope, según la ley de la transformación

\[T(a+bx+cx^2)=(2a-c,-b,a-3c)\] de donde

\[T(1,0,0)=(2.1-0,-0,1-3.0)=(2,0,1)\]

igual rulo te dio una explicación más detallada, no sé si te quedarón dudas al respecto

salu2

Fe de erratas:donde dice resalte en negrita debería referirse a los coeficientes que multiplican a los vectores del conjunto de llegada .

UN golazo che, sobre todo la aclaración de tratar a los polinomios como ternas sin olvidarme de qué son. Gracais rulo y Aoleonsr, completamente entendido y el resultado perfecto

Disculpen por no usar Latex pero vieron la hora del post XD ahora me pongo a leer bien el tutorial.