Ahora que tengo su atención (por lo de "XXX") era para sacarme de encima dos dudas locas que tengo nomás de cosas que no tengo muy claras probablemente las últimas de esta materia.

1)Sean la recta \[x=y-4= (z-5)/-1\] y el plano \[\pi:2x+y=1\].

Encuentre la ecuación vectorial paramétrica de la proyección ortogonal de la recta "r" sobre el plano \[\pi\]

Jamás recuerdo haberlo visto esto,pero bueno,cualquier cosa que apunte en la dirección correcta es bienvenida.

2)Dados:

\[\pi:{(x,y,z)}=(0,0,3)+ \lambda (1)(1,1,1)+ \lambda (2)(2,0,0)\]
\[r:{(x,y,z)}=(2-t,-2+2t,t)\]

Hallar la ecuacion general de un plano que contenga a la rectar r y sea perpendicular al plano pi.Graficar el valor hallado.

De este ejercicio infiero que r puede escribirse como (2,-2,0)+t(-1,2,1) y es,obviamente una recta.Ahora el tema esta en que el plano que di primero tiene la forma de cualquier cosa menos un plano.Segun un amigo es un haz de planos,pero el tema es que si fuera así tendría que estar igualado a cero y no lo esta .Evidentemente esta en forma rara y no se como pasarlo a forma normal pero "i don't have a clue of how".

Bueno,gracias de antemano.
Saludos!

el primero tenes q revisar en algun libro la forma de hacer la proyeccion ortogonal de una recta en un plano..
tenes q formar un plano Pi' con los datos que te da, y despues haces la interseccion entre Pi y Pi' y te va a dar una recta y esa es la recta q tenes q expresar en la forma vectorial parametrica



el plano que te da esta dado en forma vectorial si no me equivoco


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tenes que hacer lo siguiente para sacar ese plano
tenes q hacer un producto mixto que te quedaria asi :

x-0 y-0 z-3
1 1 1
2 0 0

seria X menos el punto
Y menos el punto
Z menos el punto
y los dos vectores del plano

haces el producto mixto y te va a quedar el plano Pi de forma "general "

suerte

Como te dijeron esa es la ecuación vectorial del plano, la primer coordenada siempre es de un punto del plano y las otras dos son de vectores no paralelos entre sí que pertenecen al plano.
Como el vector normal es perpendicular al plano es también perpendicular a los vectores del plano, por eso se obtiene haciendo producto vectorial entre los dos vectores que te dieron, y si te acordás el plano se sacaba haciendo producto escalar entre el vector normal y un vector que va del punto del plano a un punto genérico (x,y,z).
En vez de hacer el producto vectorial y escalar por separado haces el mixto como dijo maxenz y sale en menos pasos.

La ecuación de la recta proyectada en el plano va a tener un punto y un vector, para obtener el punto haces la proyección del punto (2,-2,0) sobre el plano y para obtener el vector proyectas el vector de la recta sobre el plano. Si no tenes las fórmulas de proyección están en los dos pdfs que adjunté acá
Formulas Álgebra

Hola, siempre es conveniente antes de empezar a hacer cuentas fijarse las pocisiones relativas de la recta respecto al plano dado, de esa forma sabes que cuentas tenés que realizar, la recta puede estar
a) paraléla: basta encontrar un punto proyección A, y tomar el vector director de la recta dada
b) perpendicular: la proyección es un punto
c) estar incluida: la proyección es la misma recta
d) cortarse en un punto y formar un ángulo con el plano dado: necesito dos puntos A que es la intersección de la recta con el plano, y B que es la proyección del punto de la recta sobre el plano
Para el ejercicio es claro el caso d), entonces para obtner la proyección de la recta sobrel el plano, necesitas dos puntos A y B

\[A=r \cap{} \pi \quad B=Proy_P_\pi=L \cap{} \pi\]

expresemos r como

\[ r=\left\{\begin{matrix} x=\lambda\\y=4+\lambda\\z=5-\lambda \end{matrix} \right \]

\[A=2\lambda+4+\lambda=1 \rightarrow{} \lambda=1 \Longrightarrow{} A=(-1,1,6)\]

para obtener B, una forma seria, formar una recta L con la normal del plano y el punto de la recta, o sea

\[L=\left\{\begin{matrix} x=2\lambda\\y=4+\lambda\\z=5 \end{matrix} \right \]

\[B=4\lambda+4+\lambda=1 \rightarrow{} \lambda= -\displaystyle\frac{3}{5} \Longrightarrow{} B=(-\dfrac{6}{5},-\dfrac{17}{5},5)\]

escrita en forma vectorial paramétrica \[r'=A+t \vec{AB} \]

salu2

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Para el segundo, es medio raro esa ecuación vectorial del plano que te dan, me descoloca un poco ese \[\lambda(1), \lambda(2)\] ??? hago el planteo considerando los parámetros \[\alpha\] y \[\theta\] respectivamente, cualquier cambio aviso jejej

haciendo el producto vectorial de los vectores dados en \[\pi\] y evaluando con el punto del mismo obtenes que

\[\pi:y-z+3=0\]

ahora te piden un plano \[\pi' \perp{} \pi \wedge r \subset{} \pi\]

\[n_{\pi}=n_{\pi'} \times{} d_r=(3,1,1)\] y con el punto (0,0,3) nos queda la ecuacion del plano buscado

\[\pi':3x+y+z-4=0\]

pero como te dije esos valores en \[\lambda\] mmmmm, pero bueno la idea es esa que te dí, eso si no me equivoque en las cuentas y el razonamiento

salu2

PD: hago en dos post el ejercicio ya que no se me permite publicarlo en uno solo

Gracias maxenz,anirus,aleonsr por contestar.Lo unico me quedo una duda respecto a:

Cita:y con el punto (0,0,3) nos queda la ecuacion del plano buscado

\[\pi':3x+y+z-4=0\]

El punto ese no pertenece al primer plano en lugar del segundo ?
De ahi que dude xd,yo tambien llegue a un resultado parecido cuando saque la ecuación del plano.O sea,me quedo: \[\pi: y-z+3=0\] entonces \[n\pi ={(0,1,-1)}\] si multiplico eso con el normal del plano dos con coordenadas genericas me da que la tercer componente es igual a la segunda y despues con el director de la recta,que la primera es igual a tres veces la segunda,entonces queda \[n\pi(2)={(3n2,n2,n2)}\] y sacando n como factor común me queda \[n\pi(2)={(3,1,1)}\] ahora el tema es que el punto (0,0,3) pertenece al otro plano que es perpendicular no? O hay algo que me estoy perdiendo?

Gracias por la paciencia.

Yep tenes razón, me equivoque al postearlo pero no en el papel, era el otro, la cuenta la hice con el otro punto que pertenece a la recta, pues nos piden el plano que la contenga

salu2