Hola a todos como anda ?
chicos necesito la ayuda de alguien que me explique como puede resolver estos dos ejercicios de álgebra de rectas y planos que no los entiendo bien

De desde ya mucha gracias

1) haciendo las respectivas cuentas obtenes las rectas

\[L(x)=(x,-3x-1,-x-2)\quad x\in R\]

\[S( \lambda)=(1,1-\lambda,3+\lambda)\quad \lambda\in R\]

a) R//L y ademas el punto P por donde pasa R esta definido como la interseccion del plano pi1 con la recta S, para hallar ese punto solo es reemplazar las componentes de la recta S en dicho plano

\[3x+y+1=3(1)+1-\lambda+1=3+2=\boxed{5=\lambda}\]

el punto sera \[S(5)=P(1,-4,8)\] , como la recta R es paralela a la recta L tiene su mismo director, entonces

\[\boxed{R(t)=(1+t,-4-3t,8-t)\quad t\in R}\]

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b) Usamos la ecuacion del haz reducido que pasa por la recta L, que esta definido como

\[\pi: (3x+y+1)+\lambda(3x+2y-3z-4)=0\]

como pasa por el punto de interseccion con pi1 deducis que \[\lambda=0\]

por ende la ecuacion del plano pedida es

\[\boxed{\pi: 3x+y+1=0}\]

verifica que es perpendicular a la recta L, simplemente comprobando que el producto escalar de sus normales es cero

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2) observa las condiciones para definir la recta L3:

De L3 paralela al plano z=0 deducis que \[L_3\perp(0,0,1)\]

De L3 perpendicular a L1 deducis \[L_3\perp(-1,-2,1)\]

luego

\[L_3\perp(-1,-2,1)\wedge L_3\perp(0,0,1)\to L_3=(-1,-2,1)\times (0,0,1)=(-2,1,0)\]

\[\times=\]producto vectorial

la recta pedida es

\[\boxed{L_3(\beta)=(2-2\beta,\beta,3)\quad\beta\in R}\]

para que hallar el valo de k que permita que L2 se corte con L3 (concurrentes) solo es resolver el sistema de ecuaciones que define implicitamente a L2 reemplazando las componentes de la recta

L3 segun corresponda

\[L_2:\left\{\begin{matrix}2x+y-z=k \\ x+y=0 \end{matrix}\right.\]

reemplazando

\[L_2 \cap L_3:\left\{\begin{matrix}4-4\beta+\beta-3=k \\ 2-2\beta+\beta=0 \end{matrix}\right.\]

de donde \[\beta=2\quad \boxed{k=-5}\]

el punto de interseccion sera \[L_3(2)=A(-2,2,3)\]

podes comprobar de forma sencilla que ese punto verifica la intersección

Buenísimo Mucha gracias por la ayuda