Buenas tardes chicos! serian tan amables de poder ayudarme con este ejercicio?
Es del tp3 espacios vectoriales, ejercicio nº 23

\[S=gen\left \{ (1,1,-1,2) \right \} , T \left \{ (x,y,z,t) \epsilon \mathbb{R}^{4}/ x+2y-t=0 ; z+t=0 \right \} Determine S^{^{\perp }}\cap T\]

Ojala puedan ayudarme!

1) tenes que hallar el complemento ortogonal de de S, hechas las cuentas obtenes \[gen S^{\perp}=\left \{ a,b,a+b+2d,d \right \}\]

2) tenes que encontrar las ecuaciones cartesianas cartesianas del complemento ortogonal, o sea resolver el sistema

\[\\x=a\\y=b\\z=a+b+2d\\t=d \]

de donde

\[S^{\perp}=\left \{ \overline X\in R^4/ x+{\color{Red} y }+2t-z=0 \right \}\]

3) para hallar la intersección, tenes que resolver el sistema

\[S^{\perp}\cap T\left\{\begin{matrix}x+{\color{Red} y}+2t-z=0\\ x+2y-t=0\\t+z=0 \end{matrix}\right.\]

Se puede observar que el rango de su matriz asociada es 3, entonces el numero de incognitas - rango de A= V libres y esto es 4-3=1

por lo tanto, una base de la intersección puede ser

\[B_{S^{\perp}\cap T}=\left \{ {\color{Red}(-7,4,-1,1) } \right \}\]

editado: error en cuentas

Hola!! gracias por responder a mi pregunta pero sigo con dudas, hay algo en que todavia no me cierra, podrias corregirme??
yo procedo asi...
si \[S^{\top }= \left \{ x\epsilon R^{4}/ x*v=0 \ y \ v e S \right \}\]
entonces llamo a \[x=(a,b,c,d)\]
realizo el calculo..
\[(a,b,c,d)*(1,1,-1,2)=0\]
\[a+b-c+2d=0\]
\[a+b+2d=c\]

de esto obtengo:
\[x=a\]
\[y=b\]
\[z=a+b+2d\]
\[t=d\]
en forma general tengo \[X=(a,b,a+b+2d,d)=(a,0,a,0)+(0,b,b,0)+(0,0,2d,d)\]

\[S^{\top }= gen \left \{ (1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,2,1)\right \}o S^{\top }= \left \{ x \epsilon \mathbb{R}^{4}/T=\left \{ (x,y,z,t) \epsilon \mathbb{R}^{4} / x+y-z+2t=0 \right \}\]
de donde puedo utilizar la expresion general de T o hayar los generadores de T (se puede hacer de esta ultima forma?)

voy por el primero..
\[x+y-z+2t=0\]
\[x+2y-t=0\]
\[z+t=0\]

de lo que obtengo :
\[x=-7t\]
\[y=4t\]
\[z=-t\]
esto seria \[S^{\top }\cap T= \left \{ (-7,4,-1,1) \right \}\] ??

De la otra forma seria asi??

\[T=\left \{ (x,y,z,t) \epsilon \mathbb{R}^{4} / x+2y-t=0 \wedge z+t=0 \right \}\]
de donde ...
\[I) x+2y-t=0 \Rightarrow x=-2y+t \]
\[II) z+t=0 \Rightarrow z=-t\]

\[X=(-2y+t, y,-t,t)= (-2y,y,0,0)+(t,0,-t,t)= y(-2,1,0,0)+t(1,0,-1,1)\]
\[T=gen \left \{ (-2,1,0,0),(1,0,-1,1) \right \}\]

de \[S^{\top } y T\] obtengo 5 vectores, podria utilizando gauss hayar el vector que es combinacion lineal de los otros cuatro y ese ser el vector interseccion entre \[S^{\top } y T\] ?

(26-12-2012 22:02)Adriana BT escribió:  Hola!! gracias por responder a mi pregunta pero sigo con dudas, hay algo en que todavia no me cierra, podrias corregirme??
yo procedo asi...
si \[S^{\top }= \left \{ x\epsilon R^{4}/ x*v=0 \ y \ v e S \right \}\]
entonces llamo a \[x=(a,b,c,d)\]
realizo el calculo..
\[(a,b,c,d)*(1,1,-1,2)=0\]
\[a+b-c+2d=0\]
\[a+b+2d=c\]

de esto obtengo:
\[x=a\]
\[y=b\]
\[z=a+b+2d\]
\[t=d\]
en forma general tengo \[X=(a,b,a+b+2d,d)=(a,0,a,0)+(0,b,b,0)+(0,0,2d,d)\]

\[S^{\top }= gen \left \{ (1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,2,1)\right \}o S^{\top }= \left \{ x \epsilon \mathbb{R}^{4}/T=\left \{ (x,y,z,t) \epsilon \mathbb{R}^{4} / x+y-z+2t=0 \right \}\]
de donde puedo utilizar la expresion general de T o hayar los generadores de T (se puede hacer de esta ultima forma?)

voy por el primero..
\[x+y-z+2t=0\]
\[x+2y-t=0\]
\[z+t=0\]

de lo que obtengo :
\[x=-7t\]
\[y=4t\]
\[z=-t\]
esto seria \[S^{\top }\cap T= \left \{ (-7,4,-1,1) \right \}\] ??

Esto es correcto, YO flasheé mal ahi lo edite

Cita:De la otra forma seria asi??

\[T=\left \{ (x,y,z,t) \epsilon \mathbb{R}^{4} / x+2y-t=0 \wedge z+t=0 \right \}\]
de donde ...
\[I) x+2y-t=0 \Rightarrow x=-2y+t \]
\[II) z+t=0 \Rightarrow z=-t\]

\[X=(-2y+t, y,-t,t)= (-2y,y,0,0)+(t,0,-t,t)= y(-2,1,0,0)+t(1,0,-1,1)\]
\[T=gen \left \{ (-2,1,0,0),(1,0,-1,1) \right \}\]

de \[S^{\top } y T\] obtengo 5 vectores, podria utilizando gauss hayar el vector que es combinacion lineal de los otros cuatro y ese ser el vector interseccion entre \[S^{\top } y T\] ?

eso no es la intersección, de esa manera vos lo que hallas es una base de la suma del complemento de S y T

aaahhhhh!!! muchas gracias!!!! fuiste de mucha ayuda!!!!!!