Hola alguien me puede ayudar con estos ejercicios:

1)Halle los valores de las constantes "a" y "b", tal que la proyección de la recta r=(0,1,0)+t (-2,a,b) sobre el plano: x+2z=30 resuelte un solo punto. Encuentre dicho punto.

2) Halle el punto contenido en la recta r: (1,3,2)+t(-1,1,2) cuya proyeccion sobre el plano "yz" es (0,1,-2)

3)Este es un ejer. de final:
Sea una TL de R3 en R3, con autovalores v1=(1,1,-1), v2=(-1,0,1), v3=(0,1,2) y autovalores 3,-1,4 respectivamente, Sin hallar la expresión analítica de la TL, calculo T(1,0,0) en base canónica.
Este ejercicio lo hice, pero como no tengo las respuestas, no sé si está bien. Lo único que se me ocurre es usar la propiedad que establece que A y D son matrices semejantes. De este modo, yo ya sé cual es la matriz P, su inversa y también como tengo los autovalores, sé cuál es D...Entonces multipliqué esas tres matrices y hallé la matriz A y concluí que la primer columna de A es T(1,0,0). Se hace así?


Gracias

1) Si te piden que la proyeccion ortogonal de una recta sobre un plano sea un punto, la unica opcion es que esa recta sea perpendicular al plano , por lo que su vector director sera proporcional al del plano, entonces plantea la defincion

\[d_r=\alpha n\to (-2,a,b)=\alpha(1,0,2)\]

Con eso hallas los valores de a y b, despues para el punto P es solo hacer \[P=r\cap \pi \]

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2) fijate que los puntos de la recta son de la forma

\[P=(1-t,3+t,2+2t)\]

te piden la proyeccion de este punto sobre el plano \[\pi :x=0\]

Para la proyeccion, plantea una recta auxiliar L con la normal del plano

\[\pi\], e iguala cada componente al punto

\[A=(0,1,-2)\], salvo error la recta L es

\[L: (1-t,3+t,2+2t)+\omega(1,0,0)=(0,1,-2)\]

hallando el valor de t y reemplazando en P encontras el punto incluido

en la recta que cumple lsa condiciones dadas

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3) dejame pensarlo un poco, si podes abrir otro hilo con este ejercicio , asi tenemos todo mejor organizado sino me falla el razomamiento hay que utilizar

\[T(v)=\alpha v\]

(10-05-2012 21:33)Saga escribió:  3) dejame pensarlo un poco, si podes abrir otro hilo con este ejercicio , asi tenemos todo mejor organizado sino me falla el razomamiento hay que utilizar

\[T(v)=\alpha v\]

Sí, yo también pensé en usar eso...sin embargo, me surgieron dos dudas:
-Tengo que usar el primer autovalor que me dan?
-En caso de que se haga así, para que me dan los autovectores?
Pero no sé que autovalor usar y en esa caso para que me dan todo lo demás?

Gracias por la ayuda!

3) aplicando la definicion tenemos que

\[\\T(v_1)=T(1,1,-1)=3(1,1,-1)\\\\T(v_2)=T(-1,0,1)=-1(-1,0,1)\\\\T(v_3)=T(0,1,2)=4(0,1,2)\]

de donde haciendo las cuentas tenes

\[\\T(1,1,-1)=(3,3,-3)\\\\T(-1,0,1)=(1,0,-1)\\\\T(0,1,2)=(0,4,8)\]

Te piden las coordenadas de \[T(1,0,0)\] en la base canónica, y para ello conoces las imágenes de tres vectores en dicha base. Si encontras escalares tales que

\[(1,0,0) = \alpha (1,1,-1)+\beta(-1,0,1)+\gamma(0,1,2)\] , podes aplicar T a la igualdad .

¿¿ Pudiste resolver los dos primeros ejercicios ??

Hola, aporto otra resolución para el ejercicio 3. Diganmé si es correcta...



Llamo \[A\] a la matriz asociada de la transformación lineal \[T\]. Entonces:

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}& a_{12}& a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}\]

Al autovector \[\vec{v_1}=(1,1,-1)\] le corresponde el autovalor \[\lambda_1=3\].

Al autovector \[\vec{v_2}=(-1,0,1)\] le corresponde el autovalor \[\lambda_2=-1\].

Al autovector \[\vec{v_3}=(0,1,2)\] le corresponde el autovalor \[\lambda_1=4\].



Utilizando la información anterior puedo plantear lo siguiente...


Para \[\lambda_1=3\]:

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}-3& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}-3&a_{23}\\a_{31}& a_{32} & a_{33}-3\end{pmatrix}\]

A partir del autovector deduzco que:

\[x=y \wedge z=-y\]

Con lo que:

\[a_{11}=a_{12}+3 \;\;^{(1)} \;\; \wedge \;\; a_{13}=-a_{12} \;\;^{(2)}\]

\[a_{21}=a_{22}-3 \;\;^{(3)} \;\; \wedge \;\; a_{23}=3-a_{22} \;\;^{(4)}\]

\[a_{31}=a_{32} \;\;^{(5)} \;\; \wedge \;\; a_{33}=3-a_{32} \;\;^{(6)}\]


Para \[\lambda_2=-1\]:

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}+1& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}+1&a_{23}\\a_{31}& a_{32}&a_{33}+1\end{pmatrix}\]

A partir del autovector deduzco que:

\[y=0 \wedge x=-z\]

Con lo que:

\[a_{11}+1=-a_{13} \to a_{11}=-1-a_{13} \;\;^{(7)}\]

\[a_{21}=-a_{23} \;\;^{(8)}\]

\[a_{31}=-1-a_{33} \;\;^{(9)}\]



Para \[\lambda_3=4\]:

\[A=\begin{pmatrix}a_{11}-4& a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}-4&a_{23}\\a_{31}& a_{32}&a_{33}-4\end{pmatrix}\]

A partir del autovector deduzco que:

\[x=0 \wedge z=2y\]

Con lo que:

\[a_{13}=2a_{12} \;\;^{(10)}\]

\[a_{23}=2a_{22}-8 \;\;^{(11)}\]

\[a_{33}=2a_{32}-4 \;\;^{(12)}\]



Igualamos y hallamos los distintos valores de la matriz \[A\]:

\[^{(2)}\;=\;^{(10)} \to a_{12}=0\]

\[^{(4)}\;=\;^{(11)} \to a_{22}=\frac{11}{3}\]

\[^{(1)}\;=\;^{(12)} \to a_{32}=\frac{7}{3}\]

\[a_{11}=3 \;\; \wedge\;\; a_{21}=\frac{2}{3} \;\; \wedge\;\; a_{31}= \frac{7}{3}\]

\[a_{13}=0 \;\; \wedge\;\; a_{23}=-\frac{2}{3} \;\; \wedge\;\; a_{33}= \frac{2}{3}\]



Armamos la matriz \[A\]:

\[A=\begin{pmatrix}3&0&0\\\frac{2}{3}&\frac{11}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{7}{3}&\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}\]



Para hallar \[T(1,0,0)\] simplemente hacemos:

\[T(1,0,0)=A.(1,0,0)=(3,\frac{2}{3},\frac{7}{3})\]



Eso es todo. Espero que les halla dado lo mismo o el planteo esté bien porque hace un rato largo que estoy escribiendo Jajajaja (se me acalambraron los dedos).

Gracias a los dos por la ayuda.

Hice el ejercicio de TL como dijo @Saga y da distinto a la resolución de @matyary...

Por otro lado, sigo sin entender el ejercicio 2, voy a intentar de nuevo.

(11-05-2012 22:05)lu. escribió:  Hice el ejercicio de TL como dijo @Saga y da distinto a la resolución de @matyary...

¿Cuánto te da? Si obtenés un vector paralelo al que obtuve yo, es exactamente lo mismo (error mio quizás, no haber multiplicado todos los términos de la matriz por 3 para trabajar más cómodo). Si resulta ser otra cosa, habría que revisar todos los cálculos. Por otro lado... ¿qué te pareció mi resolución independientemente del resultado?

Cita:Por otro lado, sigo sin entender el ejercicio 2, voy a intentar de nuevo.

¿Qué parte no entendés del ejercicio?¿Enunciado o el razonamiento de Saga?¿O ambos?

(11-05-2012 22:39)matyary escribió:  

(11-05-2012 22:05)lu. escribió:  Hice el ejercicio de TL como dijo @Saga y da distinto a la resolución de @matyary...

¿Cuánto te da? Si obtenés un vector paralelo al que obtuve yo, es exactamente lo mismo (error mio quizás, no haber multiplicado todos los términos de la matriz por 3 para trabajar más cómodo). Si resulta ser otra cosa, habría que revisar todos los cálculos. Por otro lado... ¿qué te pareció mi resolución independientemente del resultado?

Cita:Por otro lado, sigo sin entender el ejercicio 2, voy a intentar de nuevo.

¿Qué parte no entendés del ejercicio?¿Enunciado o el razonamiento de Saga?¿O ambos?

El de recta y plano, estaba interpretando mal el enunciado, la explicación de Saga es clarísima, ya me salió.

El de TL, lo hice de dos formas y llegué a lo mismo.

Primero lo hice como dijo Saga y llegué a que T(1,0,0)=(-3,0.5,7)

Después por curiosidad, lo hice usando: A=P D (P)*(-1) y llegué a lo mismo.

Matyary, es raro, porque te da parecido pero no proporcional...a lo mejor le pifiaste a una cuenta.