Cita:Dadas las funciones f(x)=rx (r=raíz) y g(x)=sen(x-pi), determine los conjuntos Df y Dg, con Dg C= [-2pi;2pi], tales que exista: a) f o g, b) g o f. Justifique su respuesta.

Quisiera saber si alguien me podría explicar como se resuelve ya que ni mi cabeza, ni las resoluciones me están ayudando. Gracias (:

Edit: para el que quiera los resultados, estos son: a) Dg = [-pi;0] U [pi;2pi], Df = R+0 y b) Df = [0;4pi^2], Dg = [-2pi;2pi]

\[f(x) = \sqrt{x}g(x) = \sin(x-\pi) = -\sin(x)D_f = \{x\in \mathbb{R} / x\geq 0\} = \mathbb{R}^+_0D_g \subset [-2\pi, 2\pi]\]
Para que exista la composicion \[f\circ g = f(g(x))\], \[g(x) \geq 0 \Leftrightarrow -\sin(x) \geq 0 \Leftrightarrow \sin(x) \leq 0 \Leftrightarrow x \in [-2\pi, -\pi] \cup [0, \pi]\] (aca tenes el grafico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x+-+pi%29)

La idea es que si tenes \[f(g(x))\], como el dominio de \[f\] son reales positivos y el cero, \[g(x)\] tiene que tomar esos valores si o si.

Y es al reves para que exista \[g(f(x))\]; los valores de \[f\] tienen que estar en el intervalo \[[-2\pi, 2\pi]\]

Entonces:
\[-2\pi \leq f(x) \leq 2\pi \Leftrightarrow -2 \pi \leq \sqrt{x} \leq 2\pi \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 4\pi^2\] Ojo con eso ultimo, que al elevar al cuadrado, te queda 0 en vez de \[4\pi^2\] a la izquierda, porque \[D_f = \mathbb{R}^+_0\]

\[\therefore D_f = [0, 4\pi^2]\] (para que exista \[g \circ f\])

Bueno, este fue el truco para sacar los dominios de una funcion para el Super Nintendo, espero que les haya gustado, chau (?)