Tengo una duda con este ejercicio...


Teniendo $$\begin{bmatrix}a &0 &a-1 \\ 0 &-3 &4 \\ 0 &-8 &9 \end{bmatrix}=0$$ , encontrar todos los valores de $$a\in \mathbb{R}$$ para que $$A$$ sea diagonalizable.


Lo que hice fue aplicar $$det(A - \lambda I)=0$$ , que es: $$\begin{vmatrix}a-\lambda &0 &a-1 \\ 0 &-3-\lambda &4 \\ 0 &-8 &9-\lambda \end{bmatrix}=0$$ ...


Hasta ahí, todo bárbaro, pero cuando llegué a que $$\lambda^3(-1)+\lambda^2(6+a)+\lambda(-5-6a)+(5a)=0$$ , no puedo seguir.



Alguno me puede ayudar con esto?

(20-11-2012 22:43)ps92 escribió:  Tengo una duda con este ejercicio...


Teniendo $$\begin{bmatrix}a &0 &a-1 \\ 0 &-3 &4 \\ 0 &-8 &9 \end{bmatrix}=0$$ , encontrar todos los valores de $$a\in \mathbb{R}$$ para que $$A$$ sea diagonalizable.


Lo que hice fue aplicar $$det(A - \lambda I)=0$$ , que es: $$\begin{vmatrix}a-\lambda &0 &a-1 \\ 0 &-3-\lambda &4 \\ 0 &-8 &9-\lambda \end{bmatrix}=0$$ ...


Hasta ahí, todo bárbaro

concuerdo, pero despues no se que hiciste , para calcular el determinante te conviene tomar la columna 1, el polinomio caracteristico queda

$$(a-\lambda)[(-3-\lambda)(9-\lambda)+32]=(a-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+5)=0$$

creo que ya podes continuar, cualquier duda ......

(21-11-2012 03:27)Saga escribió:  

(20-11-2012 22:43)ps92 escribió:  Tengo una duda con este ejercicio...


Teniendo $$\begin{bmatrix}a &0 &a-1 \\ 0 &-3 &4 \\ 0 &-8 &9 \end{bmatrix}=0$$ , encontrar todos los valores de $$a\in \mathbb{R}$$ para que $$A$$ sea diagonalizable.


Lo que hice fue aplicar $$det(A - \lambda I)=0$$ , que es: $$\begin{vmatrix}a-\lambda &0 &a-1 \\ 0 &-3-\lambda &4 \\ 0 &-8 &9-\lambda \end{bmatrix}=0$$ ...


Hasta ahí, todo bárbaro

concuerdo, pero despues no se que hiciste , para calcular el determinante te conviene tomar la columna 1, el polinomio caracteristico queda

$$(a-\lambda)[(-3-\lambda)(9-\lambda)+32]=(a-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+5)=0$$

creo que ya podes continuar, cualquier duda ......

Claro, hace un rato llegué hasta ahí y obtuve: $$\lambda _{1}=a$$ , $$\lambda _{2}=5$$ y $$\lambda _{3}=1$$ .

Todo esto, sabiendo que para que A sea diagonalizable $$a\neq 1$$ y $$a\neq 5$$ , porque tienen que ser 3 autovalores distintos...

Para $$\lambda _{1}=a$$ , obtuve que la base del subespacio asociado es $$\left \{ (1,0,0) \right \}$$ .

Para $$\lambda _{2}=5$$ , obtuve que la base del subespacio asociado es $$\left \{ (3,-\frac{1}{2},1) \right \}$$ .

Para $$\lambda _{3}=1$$ , obtuve que la base del subespacio asociado es $$\left \{ (-1,1,1) \right \}$$ .


Ahora, lo que no sé si está bien es poner como respuesta: "A es diagonalizable $$\forall a\in \mathbb{R}-\left \{ 1,5 \right \}$$ "
No sé si es así, o si estoy poniendo algo mal...


Gracias por haber respondido!