Que onda gente, tengo esta matriz que me pide hallar los valores de a para que sea diagonalizable y más allá de calcular los autovalores de la misma, no se como seguir.
La matriz es esta:
[ 1 a a
A = -1 1 -1
1 0 2]

No sé como escribir la matriz de otra forma, pero se entiende.

Hola

Es una tarea rutinaria. Mirá por ejemplo:

https://aga.frba.utn.edu.ar/multiplicida...autovalor/

https://www.utnianos.com.ar/foro/tema-du...aci%C3%B3n

https://www.utnianos.com.ar/foro/tema-du...e-matrices

https://www.utnianos.com.ar/foro/tema-%C...onalizable

Los autovalores son \(\lambda_1=1\) con multiplicidad algebraica \(2\) y \(\lambda_2=2\) con multiplicidad algebraica \(1\). Para este último autovalor ya sabés que la geométrica también es \(1\) porque es autovalor simple, en consecuencia, en principio, la matriz es diagonalizable para todo \(a\in\Bbb{R}\). Pero ahora hay que ver qué sucede con \(\lambda_1\).

Con \(\lambda_1=1\) queda \[A-1I=\begin{pmatrix}0&a&a\\-1&0&-1\\1&0&1\end{pmatrix}.\] Si \(a\neq0\) es claro que el rango es \(2\), por tanto la dimensión del autoespacio asociado es \(3-2=1\) (o sea la multiplicidad geométrica) que no coincide con la multiplicidad algebraica, por tanto \(A\) no es diagonalizable para \(a\neq0\). Pero si \(a=0\), el rango queda \(1\) y por tanto la dimensión \(3-1=2\), y como las multiplicidades son iguales, \(A\) es diagonalizable.

Concluimos que la matriz es diagonalizable si y sólo si \(a=0\).

Saludos.

Muchas gracias, estuve viendo ejemplos y no entendía la relación con los rangos, ahora me quedó claro. Le voy a dar una mirada a esos enlaces