Es un poco largo, así que voy a tratar de resumirlo:
Primero arme la matriz ampliada de esta manera:
10 30 60 | 19
20 40 40 | 34
20 30 50 | 47

Después busco los ceros en el siguiente orden -> (lease como coordenadas en la matriz) 3-1 / 2-1 / 3-2 / 1-3 / 2-3 / 1-2
Los pasos son los siguientes:

1. 1er cero (3-1): 2 x Renglón 1 -> Resultado en R3
2. 2do cero (2-1): -2 x Renglón 1 -> Resultado en R2
3. 3er cero (3-2): -1,5 x Renglón 2 + Renglón 3 -> Resultado en R3
4. 4to cero (1-3): -1,20 x Renglón 3 - Renglón 1 -> Resultado en R1
5. 5to cero (2-3): 5 x Renglón 2 + 8 x Renglón 3 -> Resultado en R2
6. 6to cero (1-2): 10 x Renglón 1 + 3 x Renglón 2 -> Resultado en R1
   

De acá en más lo único que hice fue simplificar dividiendo cada renglón para obtener los 1:

• 1er uno (1-1): Renglón 1 / 100 -> Resultado en R1
• 2do uno (2-2): Renglón 2 / -100 -> Resultado en R2
• 3er uno (3-3): Renglón 3 / 50 -> Resultado en R3
  

Hasta ahí llego, reemplazo en las ecuaciones y da bien, el asunto es que, por ej: ningún valor de incógnita (en este caso Y) podría ser negativo según el enunciado.

Espero que se entienda, y gracias por la ayuda.