Yo lo terminé sacando sin polares por que me quedó una duda que no pude justificar...

$$x = \rho \sin \phi$$
$$z = \rho \cos \phi$$

Por $$x^{^{2}}+z^{^{2}} < 4$$ queda $$\rho ^{2} \sin^{2} \phi + \rho ^{2} \cos^{2} \phi < 4$$

De acá queda: $$0 < \rho < 2$$

Pero también de $$x^{^{2}} \leq y < 4$$ queda $$\rho ^2 \cos^{2} \phi \leq y < 4$$

Operando un poco queda $$\rho ^2 \cos^{2} \phi < 4$$

Y de acá : $$0 \leq \rho < \frac{2}{\cos \phi}$$

Supuestamente tengo que tomar el mínimo entre $$\frac {2}{\cos \phi}$$ y 2, y eso depende del cuadrante... Probablemente hay una explicación más simple, pero bueno, son las 01:34 am y no me da más el cerebro . Por lo menos entendí bastante bien el tema de hallar los límites analíticamente, ya que tiendo a depender de los gráficos. Muy buena explicación Saga.

Saludos.