estem sentey....... ehh ..... mmmmm a ver si podemos aclarar algo para emppezar confundiste el cambio de coordenadas lo tenias que hacer sobre xz y vos lo estas haciendo sobre xy jeje

el planteo de aivan esta correcto salvo por los límites del $$\rho=r\quad \varphi=t$$ fijate el planteo que hizo el hasta aca

$$r^2\cos^2t<y<4$$

esta correcto ese es el limite para y ahora falta para r y t, si leiste mis post anteriores tenes un caso 1) "situacion ideal" intentalo