Hola! Intenté resolver estos dos ejercicios cortos de am1. (Lo que hay que hacer es decir si es verdadero o falso y justificarlo).Pero no salieron. Alguno me puede dar una mano? Gracias

   

1) toma el cambio

$$u=e^x\to du=e^x dx\ cuando\ x\to 0\quad u\to 1\ cuando\ x\to+\infty\quad u\to +\infty$$

transforma la integral en

$$\int_{1}^{+\infty} \frac{du}{u^2+1}=arc tan(u)\Bigg|_1^{+\infty}=\frac{\pi}{4}\quad CV$$

2) tenes que formar la recta tangente a partir de la F que te dan , entonces para aproximar a F utilizo un polinomio de mac laurin de orden 1

$$F\approx P(x)=F(0)+F'(0) x$$

$$F(0)=0$$

$$F'(x)=6x^2+\frac{1+\sin(2\cdot 3x)\cdot 3}{2+9x^2}$$

$$F'(0)=\frac{1}{2}$$

$$P(x)=y=\frac{1}{2}x\quad F$$

Mil gracias saga!!!
Lo que no entiendo es como funciona en la arco tangente reemplazar y que te de π/4

en realidad deberia haber puesto

$$\lim_{b\to+\infty} arctan(u)\Bigg|_1^b=\lim_{b\to+\infty} arctan(b)-arctan(1)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$

ahora lo entendes ??