Necesito ayuda con este POLINOMIO - Versión para impresión +- UTNianos (https://www.utnianos.com.ar/foro) +-- Foro: Carreras de Grado (/foro-carreras-de-grado) +--- Foro: Otras (/foro-otras) +--- Tema: Necesito ayuda con este POLINOMIO (/tema-necesito-ayuda-con-este-polinomio) |
Necesito ayuda con este POLINOMIO - camuutn - 03-11-2014 10:55 Hola chicos! como andan? necesito saber como se resuelve este polinomio Una de las raices del polinomio \[P (m)= m^{3}-3hm+1 \] es racional y positiva a)se pide calcular H b)para el valor de h hallado en el punto a, obtenga las restantes raices de P(m) Muchas gracias RE: Necesito ayuda con este POLINOMIO - Wasol - 03-11-2014 16:37 Para esto, usas el teorema de Gauss: Si p(x) es un polinomio de grado n>=1, con coeficientes enteros, término independiente no nulo y admite al menos una raiz racional "a/b" con a y b enteros coprimos (es decir, cuando solo tienen común divisor el -1 y el 1), entonces "a" es divisor del término independiente y "b" es divisor del coeficiente principal. Para este caso tenes como coeficiente principal "1" (acompañando a la m de mayor potencia) y como término independiente también "1", así que podemos usar el teorema: 1/a, entonces a sólo puede ser 1 ó -1. Para el caso del divisor del coeficiente principal: 1/b, entonces también puede ser b 1 o -1. Luego a/b=-1 ó a/b=1. Pero dado que es positiva (y racional, dado que 1 está incluido en el conjunto de los racionales), entonces la raiz que buscamos es m=1. Operando con m=1, p(1)=0, entonces 0=1-3h.1+1 h=2/3 A partir de ahí podes calcular las otras dos raíces. _________________________________________________ Cualquier duda, consulte! saludos! RE: Necesito ayuda con este POLINOMIO - PabloMUTN - 03-11-2014 20:16 (03-11-2014 16:37)Wasol escribió: Para esto, usas el teorema de Gauss: Yo lo razone de otra manera y llegue le mismo resultado. El ejercicio te dice que una raiz es positiva y racional. El polinomio es de 3er grado, por lo que admite 3 raices, de las cuales una es racional y positiva. Las otras pueden ser colores, pero una es racional y positiva. Con esto y teniendo 2 incognitas y un polinomio, propongo una raiz igual a 1: es racional y positiva. Quizas diras que es medio tirado de los pelos, pero muchos problemas de la carrera arrancan proponiendo cosas y verificar los resultados si son acorde a lo que propusiste. Con la raiz m1=1 podes seguir con Ruffini. | 1 0 -3h 1 | | 1 | v 1 1 -3h+1 ---------------------------------------- 1 1 -3h+1 -3h+2 Para que 1 sea raiz: -3h+2=0 => h=2/3 Con ese valor, la ecuacion de segundo grado te quedaria asi: x^2+x-1=0 Las raices son: x2=-1/2+raiz(5)/2 x3=-1/2-raiz(5)/2 RE: Necesito ayuda con este POLINOMIO - Wasol - 03-11-2014 21:18 Está bien, propones esa raiz. ¿probaste proponer otras raíces? digo, dado que es un polinomio, y éste es una combinación lineal de ciertas bases de un subespacio vectorial, y dependiendo de la combinación, podes obtener distintas raices en virtud de los parámetros que utilices. Yo apliqué el teorema de Gauss para justificar el uso del 1 como raiz. De otro modo, si usas el 2 (en lugar del 1, y que también es racional y positivo), entonces vas a tener un h distinto; lo cual está bien. Pero es como sacar un conejo de la galera RE: Necesito ayuda con este POLINOMIO - juanchi21 - 04-11-2014 19:02 Lo hice igual que PabloMUTN y llegue a lo mismo, soy feliz(? RE: Necesito ayuda con este POLINOMIO - Shadab Kamal - 17-11-2014 05:34 Para esto, usas el teorema de Gauss: Si p(x) es un polinomio de grado n>=1, con coeficientes enteros, término independiente no nulo y admite al menos una raiz racional "a/b" con a y b enteros coprimos (es decir, cuando solo tienen común divisor el -1 y el 1), entonces "a" es divisor del término independiente y "b" es divisor del coeficiente principal. Para este caso tenes como coeficiente principal "1" (acompañando a la m de mayor potencia) y como término independiente también "1", así que podemos usar el teorema: 1/a, entonces a sólo puede ser 1 ó -1. Para el caso del divisor del coeficiente principal: 1/b, entonces también puede ser b 1 o -1. Luego a/b=-1 ó a/b=1. Pero dado que es positiva (y racional, dado que 1 está incluido en el conjunto de los racionales), entonces la raiz que buscamos es m=1. Operando con m=1, p(1)=0, entonces 0=1-3h.1+1 h=2/3 A partir de ahí podes calcular las otras dos raíces. |