Buenas a todos. El ejercicio 16 del TP5 dice asi

16)Dada la superficie \[\sum\] \[z^{e^{y-2x}}-5=0\], halle una ecuacion cartesiana para el plano tangente a \[\sum \] en (1,2,\[{z_{o}}\]); con esta ultima calcule aproximadamente \[{z_{1}}\] si (1,01;1,97;\[{z_{1}}\]).

La ecuacion del plano tangente la pude obtener, pero luego nose como hacer esa ultima aproximacion que exige el ejercicio.

La aproximacion la podes hacer mediante un polinomio de Taylor, si no lo sabes hacer avisa

A ver no estoy seguro pero los pasos que yo seguiría son:

Dado que el plano tangente es diferenciable entonces permite una aproximación lineal y z=f(x,y)
z=f(x,y) esta definida de forma implícita como ese plano tangente.
Tu ecuación pasaría a representar una superficie de nivel "0" correspondiente a la función: F(x,y,z)

Ahora podes obtener por el teorema de Couchy-Dini las derivadas parciales de f utilizando las parciales de F.
Una vez que obtenes las derivadas parciales de f y apodes armar la aproximación lineal.

Si seguís estos pasos estoy CASI seguro que esta todo bien y da, si no se entiende me decís...
Si esta mal corrijanme!

Si tus cuentas estan bien, lo unico que tenes que hacer es despejar del plano que hallaste z, entonces tenes que

\[z=5+10x-5y\]

con eso ya podes calcular la aproximación a \[z_1\], lo sabés hacer?

(06-05-2012 19:19)Saga escribió:  Si tus cuentas estan bien, lo unico que tenes que hacer es despejar del plano que hallaste z, entonces tenes que

\[z=5+10x-5y\]

con eso ya podes calcular la aproximación a \[z_1\], lo sabés hacer?

la verdad que no , no entiendo como puedo hacer esta aproximacion, no se porque no la entiendo, eso que ya hice el ejercicio 8 y me dio sin problemas.

La aproximación si mal no recuerdo se hace así:

\[f(1,01;1,97) \approx f(1;2;5)+(-0.01).f'_x(1;2;5)+0.03.f'_y(1;2;5)\]

Saludos!

Si ya tenes todo listo , lo unico que hay que hacer es

\[z\approx z_1(1.01,1.97)=5+10\cdot 1.01-5\cdot 1.97=....\]

(06-05-2012 22:22)Saga escribió:  \[z\approx z_1(1.01,1.97)=5+10\cdot 1.01-5\cdot 1.97=....\]

Mmm no era la diferencia entre el punto real y el que se quiere aproximar (a los que llamábamos \[h \wedge k\]) en lugar de los valores de aprox. como pusiste?



Lo que quiero decir es esto.

\[z\approx z_1(1.01,1.97)=5+10\cdot (-0.01)-5\cdot 0.03=....\]

Diganme si me equivoco.

Si y no maty....... pasa que aca ya se calculo la diferencia, en forma implicita, simplemente es reemplazar los valores que nos dan para aproximar el \[z_1\], para verificar fijate cuando evaluamos la funcion original en los puntos \[(1,01;1,97)\] no da un valor de \[z=5.43009..\]

ahora si evaluamos en el plano que nanohueso calculo de la manera que propongo tenemos que \[z\approx 5.25\]

Como lo propones vos \[z\approx 4.75\]

La manera que vos decis se usa cuando no se calculan previamente todos los valores que puede asumir la constante d en el plano, de la manera que se hizo aca, se tomaron en cuenta todos los calculos

(06-05-2012 23:10)Saga escribió:  La manera que vos decis se usa cuando no se calculan previamente todos los valores que puede asumir la constante d en el plano, de la manera que se hizo aca, se tomaron en cuenta todos los calculos

El valor \[d\] al que te referís sería el \[5\] de \[z=5+10x-5y\]?

Me escribís un breve ejemplo (enunciado nomás) de cómo tendría que ser el problema para aproximar de la manera que yo lo hice?

Off-topic:

Perdón por romper tanto los h**** pero no soy de los que aprueban una materia y nunca más tocan nada, quizás porque me gusta/interesa no sé Jaja

Mismo enunciado distinta funcion y punto

\[x^2+y^3+x-z=0\quad A=(0.98; 2.03)\]

1) calculas el gradiente de \[F(x,y,z)=0\] tomando el punto \[A'=(1,2,13)\] y obtenes el plano tangente de la manera habitual \[\nabla F(A')(X-A')=0\to 5x+16y-z-24=0\]

solo queda despejar z

2) si despejas z tenes que \[z=f(x,y)=xy^2+y^3+x\], tomo el punto \[B=(1,2)\] haciendo las cuentas, tenés que z se aproxima por

\[\\z\approx f(x,y)=f(B)+\nabla f(B)(X-B)=\]\[13+(5,16)(x-1,y-2)=13+5(x-1)+16(y-2)\]

Fijate que de la manera 2) no hice ninguna distributiva, entonces usamos lo que decis vos, calcular la diferencia, ahora si distribuis y haces las cuentas, llegarias al mismo resultado que la manera 1),

no seria necesario el calcular esa diferencia.

De la manera 1) ya se hacen todos estos cálculos en el proceso de resolución. Fijate que lo que seria la constante d en 1) esta calculada, y no así en 2) Espero haber sido claro

Ahora sí, entendí las diferencias de cuando aplicar una u otra cosa. Lo que me parece raro es que jamás lo vi ni me apareció ningún ejercicio (lo que verdaderamente fue suerte porque me hubieran hecho de goma Jaja). Gracias Saga!

Saga y maty muchas gracias por tomarse la molestia de ayudarme.

En cuanto al ejercicio , con lo que ustedes me dijeron yo hice lo siguiente

\[f(1,01;1,97)\simeq f(1,2)+(0,01) f_{x}^{'}(1,2)+(-0,03)f_{y}^{'}(1,2)\]

Puse esto porque f(1,01;1,97) = z1 , y bueno resolviendolo me queda que \[f(1,01;1,97)\simeq 4,95\]

Pero la respuesta dice 5,25 , me parece que estoy cometiendo el error que vos ( Saga) le corregiste a maty , y no te entendi la verdad.

nanohueso, te estas enquilombando solito, estamos de acuerdo que el plano tangente es

\[z=5+10x-5y\]

listo, ya está no tenes que hacer ninguna otra cuenta mas, el desarrollo del ejercicio termino ahí, para concluir con lo que te pide el enunciado, ahora solo es reemplazar en ese plano los valores de x,y,z dadas por el punto de aproximacion

\[P(1,01;1,97,z_1)\]

y te da el resultado de la guía, si te quedan dudas segui preguntando que a mi no me molesta, una consulta, sabes que significa "calcular la aproximación de una funcion en un punto A " o sea me gustaria saber si tenes en claro esto, porque tu primer desarrollo en tu primer mensaje, esta correcto, no se porque tenes problemas para calcular el valor de la aproximacion en el punto, otra cosa, no entiendo tu ultimo mensaje, derivaste otra vez el plano que hallaste ??