Hola!!!

Pido ayuda porque siento que estoy mandando fruta (en la última parte, que tengo que despejar más que nada)

ENUNCIADO:
Sea la recta \[r:\left\{{x+2y+z = 2 / x=ky}\]

Halle todos los K reales tales que la distancia de la recta al origen sea d=2

SOLUCIÓN

\[r:\left\{{x+2y+z = 2 / x=ky}\]

Primero armé la recta, me quedó así:

\[r: (0;0;2) + \lambda(-k;1;k-2)\]

Cuando reemplazo en la fórmula de distancia y hago producto vectorial en el numerador me queda así me queda así:

\[r:\left\{{x+2y+z = 2 / x=ky}\]

\[\frac{\sqrt[]{4+4k^2}}{\sqrt[]{k^2 +1+ (k-2)^2}} =2\]

Que lo llevé a la forma

\[\sqrt[]{\frac{4+4k^2}{k^2 +1+ (k-2)^2}} = 2\]

Ahí Elevé al cuadrado ambos miembros y ordené un poro abajo, me quedó así:

\[\frac{4+4k^2}{2k^2 -k+5}=4\]

El denominador lo pasé multiplicando y después igualé todo a 0, para sacar las raíces, la cuadrática me quedó así:

\[-4k^2 +4k -16 = 0\]

Esa cuadrática No tiene solución entre los Reales, por lo tanto, No existe ningún K que cumpla lo pedido por el enunciado.

Me pueden decir si está bien? Si le pidié en algo? Si me estoy olvidando de algo?

Muchas Gracias

Che aye...el vector director no te queda (-K;1;K+2) ?

me lo puse a hacer y eso no me coincide....

Si lo haces con ese versor para que la distancia sea 2...el K tiene que valer -2.


habria que verificarlo...pero viste, es sabado de noche...la paja me puede xD

Tiene razon Brich... una forma de darte cuenta es si multiplicas la normal del plano con el vector director que a vos te dió, si el resultado dá cero, es que son ortogonales.
\[(1,2,1).(-k,1,k-2) \neq 0\]

En el vector que propone Brich,
\[(1,2,1).(-K;1;K+2) = 0\] , por lo cual dicho vector es ortogonal.

Entonces la recta te queda:
\[r: (0;0;2) + \lambda(-k;1;k+2)\]

Lo acabo de hacer en papel, y la verdad que es sabado para escribir todo en LATEX, pero está verificado lo de Brich.... K=-2 (único valor)

Dos genios, gracias chicos :-)

de nada loca, para eso estamos.
De paso le saque el polvo al Vardanega, que no me acordaba la formula xD