Hola, no se me ocurre como plantear este ejercicio, no logro verlo. Gracias por la ayuda que puedan darme.

Sea T la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parabola de ecuacion \[y=kx^{2}\] que pasa por dicho punto. Halle la curva C perteneciente a T que pasa por (0,1).

Holas, si no me falla el razonamiento, fijate que los puntos donde la recta normal de la familia de curvas que son tangentes a la parábola, son puntos de la forma

\[P=(x,kx^2)\]

La recta normal tiene de ecuación

\[y=mx+b\] siendo m la pendiente, que es de la forma \[m=-\frac{1}{y'}\] que es tangente al punto P, entonces

\[kx^2=mx+b\to kx^2=-\frac{x}{y'}+b\to y'=\frac{x}{b-kx^2}\]

solo quedaria integrar \[\int dy=\int \frac{x}{b-kx^2}dx\]

fijate si te sirve, espero haberlo razonado bien

muchas gracias!