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67 en 37 posts · 02-02-2012 23:48

Hola,que tal...tengo una pequeña duda de dos segundos.

¿Puede hacerse un cambio de variable en un límite?
La cosa es así,tengo que calcular:

l i m (x, y) \to (2, 2) s e n (4 - x y) / (16 - (x y)^{2})

$lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ sen(4-xy)/(16 - (xy)^2)$

Lo que hago,y no se si esta bien hacerlo (ni tampoco que es lo que me garantiza que va a dar el mismo límite) es usar una variable z y hacer

z = x * y

$z = x*y$

Entonces,cuando

(x, y) \to (2, 2) \Rightarrow z \to 4

$(x,y) \rightarrow (2,2) \Rightarrow z \rightarrow 4$

y reemplazo f(x,y) = f(z). Asumo que da el mismo límite y calculo

lim z→4 f(z)=\.sen(4−z)/(16−(z2)

$lim \ z \rightarrow 4 \ f(z) = \. sen(4-z)/(16 - (z^2)$

Como lo de arriba tiende a cero y lo de abajo también,aplico L'hopital y llego a

]lim z→4 f(z)=\.−1∗cos(4−z)/(−2∗z)

$]lim \ z \rightarrow 4 \ f(z) = \. -1*cos(4-z)/(-2*z)$

Lo de arriba,por reemplazo directo queda

- 1 * c o s (0) = - 1

$-1*cos(0) = -1$ y en lo de abajo tengo

- 2 * 4 = - 8

$-2*4 = -8$ lo que simplificado queda como 1/8 que es la respuesta que da la guia.
Mi pregunta es si este cambio de variable es válido y si no es mucho pedir,el porque es válido.

Gracias de antemano.

172 en 14 posts · 03-02-2012 00:03

Promocione AM2 el año pasado y ya me acuerdo poco. Así que si me mando un moco no me mates jajaj

Si haces el límite (x,y)-->(2,2) a sen(4-xy) te da 0
luego como 1/(16-(xy))^2) es una función acotada quedaría el resultado del limite a 0 multiplicado a una función acotada que es 0. Ojala te sirva y no haya flasheado cualquiera. Suerte

343 en 83 posts · 03-02-2012 00:05

Che te la estás re complicando...

l i m (x, y) \to (2, 2) \frac{s e n (4 - x y)}{(16 - (x y)^{2})} =

$lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(16 - (xy)^2)}=$

= l i m (x, y) \to (2, 2) \frac{s e n (4 - x y)}{(4 - x y) (4 + x y)} =

$=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(4-xy)(4+xy)}=$

= l i m (x, y) \to (2, 2) \frac{1}{4 + x y} = \frac{1}{8}

$=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{1}{4+xy}=\frac{1}{8}$

Todo sale por la propiedad famosa del límite:

l i m x \to 0 \frac{s e n (x)}{x} = 1

$lim x\rightarrow 0 \ \frac{sen(x)}{x}=1$

Saludos!

172 en 14 posts · 03-02-2012 00:05

Igual no conteste tu pregunta. Sí, podes hacer el cambio de variables pero no te asegura que sea contínua o no, en caso de que te lo pregunten porque hay infinitos cambios de variables, es conveniente siempre hacer el limite directo si lo podes hacer

67 en 37 posts · 03-02-2012 00:06

che,pero si (x,y)-->(2,2) entonces 1/(16-(xy))^2) tiende a infinito porque lo de abajo tiende a cero...entonces no esta acotada!

Además la guia dice 1/8.xD
Igual lo que buscaba era saber si estaba bien el procedimiento que use y que me lo puede garantizar =D.

Gracias igual.

343 en 83 posts · 03-02-2012 00:09

PD: Y el cambio de variable, cualquiera sea siempre es válido. Sirve para facilitarte las cosas aunque en este caso no en necesario.

67 en 37 posts · 03-02-2012 00:12

(03-02-2012 00:05)matyary escribió: Che te la estás re complicando...

$lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(16 - (xy)^2)}=$

$=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{sen(4-xy)}{(4-xy)(4+xy)}=$

$=lim (x,y)\rightarrow (2,2) \ \frac{1}{4+xy}=\frac{1}{8}$

Todo sale por la propiedad famosa del límite:

$lim x\rightarrow 0 \ \frac{sen(x)}{x}=1$

Saludos!

¿Banca,como hiciste para sacar (4-xy) del denominador? Eso no se puede simplificar con lo de arriba.
Con respecto a lo otro,pregunte lo del cambio de variables,porque no se si vale aplicar l'hopital directo en una función de dos variables (no vi ningún teorema que afirme esto).

Cita:Igual no conteste tu pregunta. Sí, podes hacer el cambio de variables pero no te asegura que sea contínua o no, en caso de que te lo pregunten porque hay infinitos cambios de variables, es conveniente siempre hacer el limite directo si lo podes hacer

Pero no deberían tender todos a lo mismo? Digo,al fin y al cabo lo que estoy haciendo no es alterar las dos variables originales sino cambiarlas por una equivalente.

343 en 83 posts · 03-02-2012 00:16

Si que se puede rulo, sale del teorema que te puse abajo... y:

16 - (x y)^{2} = (4 - x y) (4 + x y)

$16-(xy)^2=(4-xy)(4+xy)$

Aparte magia no hice, me dio lo mismo que a vos y que la guía Jajaja

44 en 21 posts · 03-02-2012 00:18

Rulo, ¿cómo andas?. Yendo al rigor teórico, no tengo claro si es posible un cambio de variable, pero desde el punto de vista práctico creo que es muy útil y una buena solución al fin.
Sobre el ejercicio, no hace falta que apliques L'hopital... Veamos un poco:

lim (x, y) \to (2, 2) \frac{s e n (4 - x y)}{(16 - (x y)^{2})}

$\lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{sen(4-xy)}{(16-(xy)^2)}$ es el límite a resolver.

16 - (x y)^{2}

$16-(xy)^2$ viene de una multiplicación de 2 conjugados, los cuales son:

16 - (x y)^{2} = (4 - x y) * (4 + x y)

$16-(xy)^2 = (4-xy) * (4+xy)$

Separamos un poco el límite:

lim (x, y) \to (2, 2) \frac{s e n (4 - x y)}{(4 - x y) * (4 + x y)}

$\lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{sen(4-xy)}{(4-xy) * (4+xy)}$

Por propiedad de los límites, el producto de 2 funciones en límite es el límite de los productos:

lim (x, y) \to (2, 2) \frac{s e n (4 - x y)}{(4 - x y)} * lim (x, y) \to (2, 2) \frac{1}{(4 + x y)}

$\lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{sen(4-xy)}{(4-xy)} * \lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{1}{(4+xy)}$

Lo primero tiende a 1 claramente y lo segundo a

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ , y de ahí el resultado.

¿Se entendió algo?.

Ahhhhhhhhhhhhhhh, ya te contesto Matyary (groso, bien ahí thumbup3

).

67 en 37 posts · 03-02-2012 00:21

Ah,listo,gracias Aivan...ahora entendi que lo que hizo Matyary era multiplicar por la funcion cuyo limite daba uno...(yo pense que estaba simplificando términos xD).

Gracias a los dos!

PD:el cambio de variables lo vi usado para probar el teorema del valor medio de campos escalares en el libro de apostol pero nunca usado en un límite.

Saludos!:

343 en 83 posts · 03-02-2012 00:21

Jajajaja suele pasar. Se tarda mucho en tipear el código y cuando le das enter a veces aparecen respuestas previas.

44 en 21 posts · 03-02-2012 00:33

Si, sumado a lo lerdo que lo escribo

.

De nada Rulo, cualquier cosa chifla thumbup3

.

Modo compacto \| Modo extendido Analisis II - ¿Cambio de variables en un límite?
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