como paso a polares una circunferencia que esta corrida EJ:



caso 1

\[\left\{\begin{matrix}0< r < a\\ -\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}\end{matrix}\right.\]


pero no entiendo por que va así el intervalo del angulo

Los dos casos son circunferencias a las que se les aplica una traslación de sus centros respecto del origen, en una magnitud igual al valor de sus radios. Luego, en coordenadas rectangulares:

Caso 1:
\[(x-r)^2+y^2=r^2\]
Caso 2:
\[x^2+(y-r)^2=r^2\]

El cambio de coordenadas es simplemente una función que cuyo dominio está constituido por puntos en el sistema original (en este caso, cartesiano rectangular), y cuyo rango son puntos en el sistema
de llegada. Dado que los puntos de "salida y llegada", que "toma y entrega" la función, son exactamente los mismos (son descripciones diferentes del mismo espacio geométrico euclídeo subyacente), se denomina automorfismo a este tipo de transformaciones.

Luego, si se tiene una función de dominio expresado en coordenadas rectangulares (en este caso, la ecuación de la circunferencia resulta una función de x e y) y se desea una expresión en coordenadas polares, simplemente se compone dicha función con la transformación de coordenadas (que es justamente, el "reemplazo" que se hace de las expresiones por las formas parametrizadas de x e y).

\[f(x,y)=(x-r)^2+y^2\]
\[\textbf{T}(\rho ,\varphi )=(\rho \cos (\varphi ),\rho \sin (\varphi ))\]
\[\Rightarrow f(\textbf{T})=\rho ^2-2r\rho\cos(\varphi )+r^2\]

Luego, es simplemente una cuestión de tomar f=r^2 y verificar los límites superior e inferior de rho:

\[r^2=\rho ^2-2r\rho\cos (\varphi )+r^2\]
\[0=\rho(\rho-2r\cos (\varphi ))\Rightarrow \rho =0 \vee \rho =2r\cos (\varphi )\]

En definitiva, expresar la circunferencia desplazada en términos de coordenadas polares acaba implicando:

\[(x-r)^2+y^2=r^2\rightarrow \rho =2r\cos (\varphi )\]

El hecho de que el ángulo polar barra de \[-\pi/2 \] a \[\pi/2 \] radianes es evidente dado que, en este caso, la circunferencia desplazada cubre parcialmente los cuadrantes primero y cuarto del plano. En el segundo caso se tiene, análogamente:

\[x^2+(y-r)^2=r^2\rightarrow \rho =2r\sin (\varphi )\]

Aquí el ángulo polar barre de \[\0 \] a \[\pi\] radianes, por las mismas razones.

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(20-11-2011 13:41)fer512 escribió:  pero no entiendo por que va así el intervalo del angulo

Tenés que imaginarte un vector posición (con origen en (0,0) y extremo sobre la circunferencia) de manera que la "flecha" vaya moviéndose y dibujando con la punta la circunferencia. Si lo visualizaste bien, entonces te darás cuenta que el vector se alarga desde una longitud nula hasta un máximo y luego decrecer nuevamente hasta cero; y en el trayecto, "barre" un ángulo de 180° o \[\pi \] radianes.